107. L’Ombra di Mezzogiorno

In astronomia il solstizio invernale è definito come il momento in cui il Sole raggiunge il punto di declinazione minima. Il fenomeno è dovuto all’inclinazione dell'asse di rotazione terrestre rispetto all'eclittica (percorso apparente che il Sole compie in un anno); il valore di declinazione raggiunta coincide con l'angolo d’inclinazione terrestre che attualmente è di 23°27'.  Nel 2012 è stato il 21 Dicembre alle 11:11.

 

Solstizio Invernale

 

L'altezza, o elevazione, è la distanza angolare dall'orizzonte di un oggetto sulla sfera celeste  e in occasione del solstizio invernale all'ora di pranzo il Sole raggiunge l’altezza minima.

A Milano (45°27′51″Nord,  9°11′25″Est; 122 m s.l.m.) il 21 Dicembre l’altezza all’ora del culmine del Sole (12:22) era di:

 

90° -  23°27'  -  45°28'  ≈  21°

 

Con un semplice calcolo trigonometrico si vede che una persona che in questo periodo si trovasse a passeggiare a mezzogiorno in una giornata soleggiata, vedrebbe le ombre degli oggetti, posti in posizione verticale, allungarsi di 2,6 volte circa; ad esempio una persona alta 1 metro e 75 cm avrebbe un’ombra di 4,5 metri.

A Giugno (solstizio estivo) l'angolo d’inclinazione non deve essere sottratto, ma sommato; per cui l’altezza all’ora del culmine è circa 68°. In questo caso l’ombra sarebbe più corta dell’oggetto (0,4 volte)

 
A Roma (41°55′N) l’altezza all’ora del culmine del Sole è rispettivamente 24,6° e 71,5°, mentre a Catania (37°30′N)   29° e 76°.

Alcune interessanti simulazioni si possono trovare nel sito:

The Nebraska Astronomy Applet Project

Online Labs for Introductory Level Astronomy

alle pagine “Basic Coordinates and Seasons” e “Lunar Phase Simulator”:

http://astro.unl.edu/naap/

http://www.astrosurf.com/cosmoweb/cielo/coordinate.html
http://www.ilpaesedellemeridiane.com/simulatori/04noz/11lunghezzaOmbre.htm
http://www.marcomenichelli.it/sole.asp

Abstract - Winter Solstice

106. Congetture

In matematica una congettura è un'affermazione fondata su dati conosciuti, ritenuta plausibilmente vera, ma non dimostrata (né confutata).

Wikipedia riporta un elenco esaustivo di congetture matematiche all'indirizzo

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_conjectures

In particolare ai numeri primi (divisibili solo per 1 e per se stessi), sono legate molte ipotesi di questo tipo ritenute verosimili e verificate per numeri molto grandi al limite delle potenzialità di calcolo dei più potenti computer.

I numeri primi sono infiniti, come mostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma esistono molte altre dimostrazioni che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero lo ricavò dalla divergenza della

 

serie armonica:  1+1/2+1/3+1/4+1/5+…

Si può anche dimostrare la divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi:  1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…, che può essere ricavata dalla serie armonica eliminando una gran quantità di termini o come si usa dire in questi casi utilizzando il cosiddetto metodo del crivello.

 

 

Si definiscono numeri primi gemelli le coppie di numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.

La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma che:

Esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 sia un numero primo. 

 

Due numeri primi cugini sono una coppia di numeri primi che differiscono di quattro (3, 7), (7, 11), (13, 17),…;  mentre i numeri primi sexy  sono così chiamati dal fatto che "sex" in Latino significa "sei".  Le prime coppie sexy sono (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), ...

 

Nel 1849 de Polignac enunciò una congettura più generale la quale ipotizza che, per ogni numero naturale k, esistano infinite coppie di numeri primi che differiscono di un termine pari a 2k. Il caso k = 1 è equivalente alla congettura dei primi gemelli.

 

Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli converge ad una costante matematica ora chiamata costante di Brun (B₂), la cui miglior stima ha un valore pari a  1,902160583104.

B₂ = (1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+...

Questa convergenza è in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi sia divergente. Se questa serie fosse divergente, ciò implicherebbe una dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli. Poiché invece converge, resta ancora da dimostrare se il numero di primi gemelli sia finito o infinito.

 

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:

 Ogni intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente:

 Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche congettura forte di Goldbach per distinguerla dalla formulazione originale di Goldbach, nota oggi come congettura debole di Goldbach.

 

Se si costruisce una tabella dove la prima riga elenca i numeri primi n_j, n_j+1, n_j+2, la seconda riga le differenze tra due primi consecutivi d_j = n_j+1 – n_j, d_j+1 = n_j+2 – n_j+1, e nelle righe successive le differenze tra i termini della riga precedente, si mette in evidenza la

congettura di Gilbreath, la quale afferma che il primo valore di queste sequenze sarà sempre uguale a 1, eccetto per la sequenza originale dei numeri primi. La congettura è stata verificata per i numeri primi fino al valore di 10¹³.

  2,  3,  5,  7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

  1,  2,  2,  4,   2,   4,   2,   4,   6,   2, ...

  1,  0,  2,  2,   2,   2,   2,   2,   4,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   2, ...

 

La congettura di Andrica riguarda gli intervalli tra due successivi numeri primi, ed è stata formulata dal matematico romeno Dorin Andrica nel 1986.

Questa congettura afferma che, per ogni coppia di numeri primi consecutivi p_n e p_n+1, si ha:

                             __        _

Esempio:   A₄ = √ 11  -  √ 7  ≈  0,670873

In altri termini, la differenza tra due numeri primi consecutivi è sempre inferiore alla somma delle loro radici.

http://primes.utm.edu/notes/conjectures/

http://www.uni-service.it/il-fantastico-mondo-dei-numeri-primi.html
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_008.htm
http://ilportaledigiammond.wordpress.com/matematica/curiosita-sui-numeri-primi/
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_02/Cap7.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/02/34-formula-prodotto-di-eulero.html

Abstract - Andrica, Gilbreath, Goldbach  and de Polignac's Conjectures

105. Masurio e Renio

Il numero di elementi conosciuti sino al diciassettesimo secolo si limitava a 14.

Carbonio, Zolfo, Ferro, Rame, Argento, Stagno, Antimonio, Oro, Mercurio e Piombo, erano già conosciuti nell’antichità.

Nel brano tratto dal libro di Isaac Asimov (1920 – 1992) viene sottolineato come nel 1913 fossero rimasti sette elementi (dei primi 92) da scoprire, che vennero in seguito identificati colmando così la   tavola periodica degli elementi  ideata dal chimico russo Dmitrij Mendeleev (1834 – 1907) nel 1869, contemporaneamente ed indipendentemente dal chimico tedesco JuliusLothar Meyer (1830 - 1895).

“Masurio:   nome (da quello dei Laghi Masuri nella Prussia Orientale) dato da W. Noddack e I. Tacke a un elemento chimico che essi nel 1925 credettero di individuare in alcuni minerali e al quale attribuirono il numero atomico 43.

Il riconoscimento non è stato, però, confermato; l’elemento di numero atomico 43, di cui è assai dubbia l’esistenza in natura, fu ottenuto da C. Perrier e da E. Segré nel 1937 per bombardamento del molibdeno con neutroni e fu chiamato masurio, o tecnezio.”  

Treccani.it - Enciclopedie on line

“Nel 1913 erano già occupati da elementi noti tutti i numeri atomici da 1 a 92, tranne sette, i numeri atomici 43, 61, 72, 75, 85, 87 e 91.

Nel 1917 fu scoperto il protoattinio (numero atomico 91). Nel 1923 toccò all’afnio (n.a. 72) e nel 1925 al renio (n.a. 75).

Nella tavola periodica degli elementi rimasero così esattamente quattro spazi vuoti: 43, 61, 85 e 87. Sembrava che non restassero da scoprire che quattro elementi, ma i vuoti furono colmati soltanto negli anni ’30.

Nel 1937 l’inventore del ciclotrone, Lawrence, aveva bombardato con dei deutoni un campione di molibdeno (n.a. 42) e spedì a Segré, a Roma, il campione bombardato.

Dopo studi accurati, Segré scoprì che il campione conteneva tracce di una nuova sostanza radioattiva, che si rivelarono atomi dell’elemento di numero atomico 43. A quell’epoca l’elemento in questione non era ancora stato scoperto in natura e così venne chiamato tecnezio (o masurio, Ma), da una parola greca che significa “artificiale”.

Nel 1939 e 1940 furono scoperti gli elementi numero 87 (francio) e 85 (astato), mentre l’ultimo vuoto, quello dell’elemento numero 61 (prometeo) e’ stato colmato nel 1947.  Tutti questi elementi sono radioattivi.

L’astato e il francio si ottengono dall’uranio in quantità minime, il che spiega come mai non siano stati scoperti prima. Il masurio e il prometeo si ottengono in quantità ancora minori, ed hanno la strana caratteristica di essere gli unici elementi di numero atomico inferiore all’84  che non hanno alcun isotopo stabile.”

 

Isaac Asimov - Breve storia della chimica - Zanichelli

Le caselle con sfondo bianco indicano elementi non ancora scoperti nel 1913.

 

 The Origin of the Elements

 

  

http://www.ptable.com/

http://loveandbooks.blogspot.it/2010/01/isaac-asimov-breve-storia-della-chimica.html
http://www.treccani.it/enciclopedia/masurio_(Enciclopedia-Italiana)/
http://en.wikipedia.org/wiki/Element_discovery

Abstract -  The chemical elements discoveries
 

 

104. La Legge di Moore

 

“The complexity for minimum component costs has increased at a rate of roughly a factor of two per year.”

G.E. Moore, Elec. Mag., April 1965    (Moore’s Law)

 

Wikipedia riporta la prima legge di Moore con il seguente enunciato:

« Le prestazioni dei processori, e il numero di transistor ad esso relativo, raddoppiano ogni 18 mesi. »

Gordon Moore, cofondatore di Intel con Robert Noyce, all'epoca era a capo del settore R&D della Fairchild Semiconductor e tre anni dopo fondò l’Intel, scrisse un articolo su una rivista specializzata nel quale illustrava come nel periodo 1959-1965 il numero di componenti elettronici (ad esempio i transistor) che formano un chip fosse raddoppiato ogni anno.

Nel 1975 questa previsione si rivelò corretta e prima della fine del decennio i tempi si allungarono a 2 anni, periodo che rimarrà valido per tutti gli anni ottanta. La legge, che verrà estesa per tutti gli anni novanta e resterà valida fino ai nostri giorni, viene riformulata alla fine degli anni ottanta ed elaborata nella sua forma definitiva, ovvero che le prestazione dei processori raddoppiano ogni 18 mesi.

"Legge di Moore", Wikipedia, L'enciclopedia libera

 

Nel post precedente: 103. Chudnovsky brothers, si è visto che il numero di decimali calcolati per pi greco raddoppia ogni 22,5 mesi, rivelando un andamento analogo alla Legge di Moore.

D.J.Paul, University of Cambridge 2006

http://www.sp.phy.cam.ac.uk/~SiGe/Moore's%20Law.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Moore


Abstract - Moore's law and the computation of Pi
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103. Chudnovsky brothers

David Volfovich Chudnovsky (1947) e Gregory Volfovich Chudnovsky (1952) sono cittadini americani nati a Kiev e residenti a New York dal 1977.

I fratelli Chudnovsky hanno stabilito in più riprese il primato per il calcolo di pi greco col maggior numero di decimali, raggiungendo due miliardi di cifre nei primi anni novanta con un supercomputer autocostruito nel loro appartamento di Manhattan, che chiamarono "m-zero".

 

Nel 1987 hanno sviluppato un algoritmo, basato su analoghe formule sviluppate dal matematico indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan, che permette di calcolare in modo molto efficiente un numero rilevante di cifre di pi greco:

Questa serie fornisce un incremento di accuratezza di 14 digit per ogni approssimazione successiva; cioe’ se ci si ferma al termine di ordine zero le prime 13 cifre decimali sono corrette, sommando anche l’elemento con k = 1 risultano corrette le prime 27 cifre e così via.

Il loro algoritmo viene ancora utilizzato per aumentare il numero di digit conosciuti e come mostrato in Wikipedia:   Chronology of computation of π ,
il numero di cifre decimali calcolate raddoppia ogni 22,5 mesi.

Attualmente supera il valore di 10¹³ (diecimila miliardi).

http://mathworld.wolfram.com/Pi.html
http://www.mathworks.com/tagteam/69878_cleves-corner-computing-pi-91954v00.pdf
http://www.pi314.net/eng/chudnovsky.php
http://zibalsc.blogspot.it/2011/06/65-numeri-normali.html

Abstract -  Chudnovsky algorithm and the computation of Pi

102. La concezione del telefono

Tra la prima e la seconda guerra d'indipendenza italiana, Giuseppe Garibaldi (1807–1882) si trasferì a New York dove passò alcuni anni di insolita tranquillità tra il 1851 e il 1853. Soggiornò in una casa di campagna sull'isola di Staten Island accanto alla quale fu costruita una fabbrica di candele da Antonio Meucci (1808-1889) l'inventore del telefono.

Garibaldi collaborò con Meucci alla lavorazione delle candele finché la nostalgia per il mare ebbe il sopravvento e accettò l'invito dell'amico Francesco Carpaneto di accompagnarlo nei suoi viaggi verso i porti dell'America Centrale.

Antonio Meucci era originario del rione di San Frediano a Firenze, figlio di un impiegato pubblico, studiò all’Accademia di Belle Arti, imparò i primi rudimenti di chimica e fisica. Dopo aver lavorato come daziere presso la Porta Romana fu assunto come assistente macchinista al Teatro della Pergola. Nel 1835 accettò l’offerta di un impresario catalano e s’imbarcò per Cuba con la moglie Ester, una costumista teatrale. Aveva deciso di trasferirsi all'estero per cambiare aria avendo aderito alle cospirazioni liberali e repubblicane. All’Avana acquistò fama e ricchezza grazie all’invenzione di marchingegni e dispositivi elettrici utilizzati al Gran Teatro dell'Avana dove divenne Sovrintendente tecnico.

Dopo 15 anni partirà per gli Stati Uniti dove vivrà momenti di grande difficoltà, come il 30 luglio 1871 nel caso dello scoppio di una caldaia del traghetto Westfield in viaggio tra New York e Staten Island, che provocò la morte di un centinaio di persone e gravi ustioni a Meucci. A causa di questo incidente la moglie fu costretta a vendere tutte le attrezzature per pagare il loro mantenimento.

Rimarrà nella casa di Staten Island fino alla fine, lanciando invenzioni e imprese, che faranno sempre la fortuna di altri e mai la sua.

Anche se portava avanti i suoi studi sul telefono già da tempo, l'invenzione fu completata con un primo modello nel 1856:

«Consiste - scriveva Meucci in un appunto del 1857 - in un diaframma vibrante e in un magnete elettrizzato da un filo a spirale che lo avvolge. Vibrando, il diaframma altera la corrente del magnete. Queste alterazioni di corrente, trasmesse all'altro capo del filo, imprimono analoghe vibrazioni al diaframma ricevente e riproducono la parola».

 

L’invenzione del telefono venne attribuita per molti anni all’americano Alexander Graham Bell, perché Meucci non aveva i soldi per il deposito del brevetto, ma solo del caveat (una specie di pre-brevetto, da rinnovare ogni anno). Nel 1876, un anno dopo la scadenza dell’ultimo caveat di Meucci, Bell deposita il proprio brevetto.

Solo nel giugno 2002 il Congresso degli Stati Uniti ha riconosciuto ufficialmente il contributo di Meucci nell'invenzione del telefono.

 

Tra gli altri, viene ancora utilizzato il suo brevetto:

1873 - Condimento per pasta e altri cibi. In accordo con Roberto Merloni, General Manager della STAR di Agrate Brianza - Milano (US Patent No. 142,071).

Lo Staten Island Ferry (da e verso la città di New York) è ancora oggi un servizio gratuito per il traghetto di passeggeri (in ferryboat). Il viaggio, lungo circa 8 km, necessita di 25 minuti e permette di ammirare lo skyline di Manhattan o la statua della libertà.

 

 

   Le tre fotografie sono state scattate la sera del primo ottobre 2010.
 

 

http://it.wikipedia.org/wiki/Staten_Island_Ferry

http://en.wikipedia.org/wiki/Garibaldi-Meucci_Museum

http://it.wikipedia.org/wiki/Antonio_Meucci
http://www.superquark.rai.it/dl/portali/site/puntata/ContentItem-572667ef-4bf7-4e04-bbc6-ca74e97a2619.html
http://it.wikipedia.org/wiki/La_concessione_del_telefono


Abstract -  Meucci and the invention of the telephone
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101. La carica

La carica e’ una quantità fisica fondamentale di una particella che ne determina la partecipazione in un processo di interazione.

La carica elettrica e’ responsabile dell’interazione elettromagnetica, la carica di colore (o carica forte) dell’interazione forte, ecc.  Quark e gluoni hanno carica di colore e conseguentemente partecipano all'interazione forte. Esistono tre cariche di “colore” diverse (rossa, verde e blu) e tre cariche di "anticolore" (antirossa, antiverde e antiblu).

Emmy Noether dimostrò che se un sistema fisico è invariante sotto alcuni gruppi di trasformazioni continue, allora da ciascuna proprietà di simmetria segue la conservazione di una quantità fisica del sistema.

Teorema di Noether:

       “Per ogni simmetria continua a N parametri esitono N grandezze conservate"

La conservazione della carica deriva dall'invarianza sotto trasformazioni di fase del gruppo U(1) definite da:

                                   y(x)    ®    y’(x) = e^iay(x)

In pratica questa sostituzione lascia invariate le equazioni, come puo’ essere verificato negli appunti per il corso di Fisica Nucleare (INFN) di Fiorenzo Bastianelli:

http://www-th.bo.infn.it/people/bastianelli/simmetrie-fns-11.pdf

Le teorie che utilizzano questo tipo di formalismo prendono il nome di Teorie di Gauge. 
Una chiara esposizione viene fornita da Diego Bettoni (INFN):

http://www.fe.infn.it/~bettoni/particelle/Lezione3.pdf 

Le forze elettromagnetiche agiscono sulla carica elettrica trasportata da qualsiasi particella carica, la cui unità di misura è la carica dell'elettrone. Nata con le leggi dell'elettromagnetismo e passata attraverso la scoperta dei quanti, da gran tempo è noto che due cariche elettriche si attirano o si respingono secondo il quadrato della distanza che le separa.

Un elettrone che subisce un rallentamento o un'accelerazione si trasforma in un elettrone più un fotone, che può essere l’emissione di luce da un atomo o di un'onda radio da un'antenna.

L'elettrone può emettere il fotone solo in presenza di un'altra particella carica.

Nell’interazione elettromagnetica il fotone viene emesso ed assorbito anche se

l'energia non è conservata durante il breve istante del processo virtuale

e nell'elettrodinamica quantistica sarà rappresentata da uno scambio di tali fotoni. Nell'accoppiamento elettromagnetico le cariche sono conservate dato che alla fine della reazione vi è altrettanta elettricità che all'inizio. La carica elettrica si comporta quindi come una corrente elettrica che passa da una particella all'altra senza aumentare né diminuire.

L’esperimento di Millikan dimostrò che la carica elettrica è quantizzata, cioè può assumere soltanto dei valori che siano multipli interi dell’unità di carica elementare    

      e = 1,602×10^-19C  (e = carica dell’elettrone):

Una spiegazione del motivo per cui le forze elettromagnetiche decrescono con il quadrato della distanza, può essere ricavato dalla relazione    DE Dt » ħ

Se un elettrone emette un fotone virtuale di grande energia, esso può esistere solo per un tempo molto corto e può quindi esercitare una forza intensa solo su di un altro elettrone che gli passi vicino. D’altra parte un fotone virtuale di piccola energia può avere influenza, sebbene con intensità più debole, anche su distanze più grandi.

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/11-emmy-noether-simmetrie.html

http://www-th.bo.infn.it/people/bastianelli/

http://www-th.bo.infn.it/

http://www.fisicaparticelle.altervista.org/breve2.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Fotone

Abstract -  Gauge Invariance and Charge Conservation.

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