72. Fotofinish

Scattare una fotografia, trascurando effetti di ordine superiore, significa riprodurre le varie posizioni di un oggetto ad un determinato istante. In pratica però, per quanto veloce sia lo scatto, la durata ha sempre un valore ben definito, ad esempio 1/125 di secondo.

In figura vengono riportate le “linee di Universo” di 2 oggetti lunghi 5 metri:

uno con velocità 20 m/s (in blu), l’altro con velocità 10 m/s (in rosso); le coppie di linee parallele indicano i punti estremi degli oggetti.

In questo caso la foto e’ stata scattata al secondo di ascissa 2 e gli oggetti vengono indicati con i due segmenti verticali:  “1” per l’oggetto con velocita’ 20 m/s e “2” per l’altro.

I segmenti sono di uguale lunghezza.

Wikipedia riporta:  “il fotofinish è un dispositivo impiegato dai giudici di gara per determinare esattamente l'ordine di arrivo di una competizione sportiva.

Si tratta di un'apparecchiatura fotografica in cui la pellicola viene fatta scorrere orizzontalmente a velocità costante nel senso inverso alla direzione della corsa: essa viene impressionata solo in corrispondenza di una fenditura verticale, che viene puntata sulla linea d'arrivo. In questo modo, la fotografia che si ottiene è di fatto un grafico del passaggio dei corridori sulla linea in funzione del tempo (per questo motivo, dato che i corridori si muovono mentre attraversano la linea, la loro immagine risulta spesso distorta). Esaminando questa fotografia si possono determinare con precisione millimetrica l'ordine di arrivo dei concorrenti e il tempo esatto impiegato da ciascuno di essi.”

Il fotofinish riproduce un oggetto ad una determinata posizione. Ma per quanto stretta, la fenditura ha sempre una dimensione ben definita.

In questo caso il fotofinish è posizionato all’ordinata corrispondente al ventesimo metro e i due oggetti sono indicati con i due segmenti orizzontali: “3” per l’oggetto con velocita’ 20 m/s e “4” per l’altro.

I segmenti sono di diversa lunghezza: maggiore è la velocità dell’oggetto e minore risulta la sua lunghezza.

Per visualizzare la simulazione "clickare" sull'immagine.

Racetrack Photo-finish Photography on a Tabletop (rit.edu)

71. Superfici Rigate

In geometria una quadrica è una superficie rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine. Come ad esempio sfera, ellissoide, cono, paraboloide, iperboloide e cilindro.

Coni, cilindri, e in modo meno evidente, iperboloidi a una falda e paraboloidi iperbolici, si chiamano superfici rigate, poiché si possono ottenere dallo spostamento di una linea retta nello spazio.

Cono e cilindro sono superfici sviluppabili, cioè possono essere “aperte” con un taglio e trasformate in un piano, conservando angoli e lunghezze.

La loro curvatura gaussiana e’ identicamente nulla.

La curvatura gaussiana in un punto x di una superficie contenuta nello spazio euclideo è definita come il prodotto delle due curvature principali in x. La curvatura gaussiana è una curvatura intrinseca: dipende cioè soltanto dalle distanze fra punti all'interno della superficie, e non da come questa sia contenuta nello spazio tridimensionale. Questo fatto importante è asserito dal teorema egregium di Gauss.

Iperboloide a una falda e paraboloide iperbolico hanno invece curvatura negativa.

In generale una superficie rigata ha curvatura intrinseca zero o negativa, mai positiva.

Le due curvature principali per iperboloide e paraboloide sono negative, perché non nulle e di verso opposto.

Le rette che formano una superficie rigata sono anche geodetiche, ma il fatto che ad una superficie rigata appartengano infinite rette non implica che la curvatura debba essere nulla.


http://www.matematita.it/materiale/?p=cat&im=11349
http://www.matematica-fisica.it/superfici_rigate.html
http://www.mathkb.com/Uwe/Forum.aspx/math/40252/Some-questions-about-the-metric-of-hyperbolic-space
http://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura
http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/hyperboloid.html
http://universe-review.ca/I15-84-curvature2.jpg
http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/paraboloid.html
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70. Parole

“Si può parlare l’inglese servendosi delle 3.500 parole più frequenti in questa lingua?”

A questa domanda A.Kondratov in Suoni e Segni, Editori Riuniti 1973, risponde così:

“In effetti 2.000 parole sono sufficienti. Il potere delle parole più correnti nella lingua parlata e’ superiore a quello della lingua scritta. Le prime 1.000 parole più frequenti della lingua parlata coprono il 90% dei testi (mentre nel caso della lingua letteraria la percentuale e’ dell’80%). Per esporre sommariamente il filo conduttore di alcune fiabe sono sufficienti 450 parole. Per raccontare nei particolari un romanzo di avventure ne occorrono 1.400 e per fare un’esposizione completa sul contenuto di una qualsiasi opera letteraria occorrono 3.000 parole.

Così si possono trovare circa 5.860 parole diverse nella Divina Commedia di Dante, 8.474 nell’Orlando Furioso dell’Ariosto, circa 9.000 nei poemi di Omero e più di 20.000 nelle opere di Shakespeare.

 Un bambino di 8 anni usa circa 3.500 parole, 9.000 a 14 anni, mentre un adulto utilizza più di 12.000 parole.

Il fatto che la Divina Commedia contenga 5.860 parole differenti (delle quali 1.615 sono nomi propri o di luoghi), non significa affatto che Dante non ne conoscesse di più. Il grande poeta fiorentino conosceva decine di migliaia di parole, e probabilmente se ne serviva. Nel suo poema ne ha utilizzato solo una parte.

L’opera completa del poeta russo Puškin contiene 500.000 parole, delle quali 21.000 sono differenti e solo 720 tra esse si incontrano ognuna più di 100 volte. D’altro canto 6.440 parole differenti vi figurano ognuna una sola volta, 2.880 due volte e 1.800 tre.”

Un buon Vocabolario della lingua italiana può contenere 150.000 voci. Da cui si intuisce che la La biblioteca di Babele raccontata da Borges in Finzioni nella quale sono contenuti tutti i possibili libri di 410 pagine, anche se non infinita (ponendo un limite minimo alle dimensioni del carattere), contiene una miriade di libri di senso compiuto e molti di più senza senso (almeno in parte).

Su diversi quotidiani sono apparsi i Romanzi in 6 parole  e come riportato sul sito del Corriere della Sera:

“Leggenda vuole che fu una scommessa a portare Ernest Hemingway a dimostrare che sì, è possibile. La frase da lui coniata fu - Vendesi: scarpine per neonato, mai indossate (For sale: baby shoes, never worn - l'originale)”

http://www.corriere.it/Speciali/Spettacoli/2008/romanzo_sei_parole/

Si può facilmente calcolare che con la combinazione di 6 parole ed i vocaboli a disposizione, al ritmo di un Romanzo al secondo, non basterebbe l’età’ dell’Universo per leggerne una minima parte.

Alcuni Romanzi si possono trovare qui:

"Albero nato immobile morendo diventa mobile".

Alessandro Bergonzoni, attore-autore:

"Non voleva vivere, ma si arrese".

Luca Bianchini, scrittore

"Oggi non c'è più domani".

Aldo Nove, scrittore

"Era una notte buia e tempestosa”

Edward Bulwer-Lytton, scrittore

http://espresso.repubblica.it/dettaglio/istantanee-dautore/2057468

http://cultura.blogosfere.it/2008/02/un-romanzo-in-sei-parole-da-hemingway-al-web.html

69. Fogli Piegati

Un foglio di carta ha uno spessore di circa 1 decimo di millimetro.

Se si piega un foglio di carta 5 volte si ottiene uno spessore di 3 millimetri.

Continuando a piegare, dopo 10 volte si ha 1 decimetro,
dopo 20 si arriva a 100 metri (un palazzo di almeno 30 piani) …
a 42 volte si arriva ad un’altezza maggiore della distanza Terra-Luna …

68. Scale Musicali

Nel linguaggio musicale una scala e’ una successione, ascendente o discendente di suoni.

Per la scala naturale si costruisce una serie di armonici naturali partendo da una nota di riferimento. Come riportato nel sito:  Fisica, onde Musica

      http://fisicaondemusica.unimore.it/Pagina_principale.html

tale serie può essere generata secondo le seguenti regole:

- si sceglie una nota di riferimento e se ne moltiplica la frequenza per 2, 3, 4, ecc.:

per riportare le note così generate nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la loro frequenza per 2n, dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo;

- si eliminano poi gli eventuali "doppioni" ottenuti. La tradizione impone il numero di 7 per la scala naturale diatonica, e 12 per quella cromatica.

In questo modo le 7 note si ottengono come multipli della nota di riferimento. Partendo ad esempio dal Do₁ che normalizzeremo a 1 per semplicità, moltiplicando per:

 2    si ottiene l’ottava  Do₂

 3    si ottiene il Sol₂       e dividendo per  2  si ha           3/2        Sol₁

 5    si ottiene il Mi₃        e dividendo per  4  si ha           5/4        Mi₁

 9    si ottiene il Re₄       e dividendo per  8  si ha           9/8        Re₁

15   si ottiene il Si₄        e dividendo per  8  si ha          15/8       Si₁

21   si ottiene il Fa₅       e dividendo per 16  si ha         21/16     Fa₁       ( 4/3 )

27   si ottiene il La₅       e dividendo per 16  si ha         27/16     La₁        ( 5/3 )

I rapporti più elevati sono approssimati con:    4/3  per il Fa   e   5/3  per il La.

Ad esempio: il Do con frequenza 261,63 Hz ha come seconda armonica 523,26 (che e’ ancora un Do di un’ottava superiore), mentre la terza armonica e’ 784,89 Hz ( Sol nell’ottava superiore); dividendo questo valore per 2 si ha 392,44 Hz ( Sol nella prima ottava).

Uno strumento come il pianoforte accordato in Do, risulterebbe però stonato in un’altra tonalità.

Per risolvere questo problema e’ stata introdotta la scala Temperata, dove i 12 semitoni sono tutti uguali, cioè il rapporto tra le frequenze di 2 note consecutive e’ costante. Questo si ottiene ponendo il rapporto uguale a:

Oltre che essere la soluzione al problema del cambio di tonalità, e’ notevole come le frequenze nei 2 casi siano molto simili:

http://it.wikipedia.org/wiki/Scala_musicale

http://it.wikipedia.org/wiki/Temperamento_(musica)

http://it.wikipedia.org/wiki/Musica_e_matematica

http://www.soloclassica.it/acustica.htm

http://xmau.com/musica/teoria/pillole.html