209. M come Messier

Quando nel XVII secolo Galileo Galilei cominciò ad osservare la Via Lattea con il cannocchiale, scoprì che questa fascia che di notte si vedeva attraversare il cielo, era composta da miriadi di stelle. Altri oggetti celesti, come la nebulosa di Orione, rimanevano invece “nebulosi” anche osservati con questa nuova strumentazione ottica.

Il primo catalogo di nebulose, redatto da Charles Messier, venne pubblicato nel 1774. Si trattava di una lista di oggetti “nebulosi” (cioè di aspetto non stellare), immobili rispetto alle stelle fisse. Messier iniziò con il resto di Supernova NGC 1952 (M1), visibile nella costellazione del Toro, scoperto nel 1731 da John Bevis e formato dai gas in espansione espulsi durante l'esplosione della Supernova 1054. M1, noto come “Nebulosa del Granchio”, si trova a circa 6.500 anni luce dal sistema solare; perciò l'evento che l'ha prodotto è in realtà avvenuto 6.500 anni prima del 1054 (quando la Supernova venne osservata da popolazioni cinesi e arabe), cioè circa nel 5400 a.C.

La prima edizione del catalogo di Messier conteneva 45 oggetti, mentre quello finale, pubblicato 10 anni dopo, ne conteneva 103; in seguito ne vennero aggiunti altri 7.

Al trentunesimo posto troviamo Andromeda, nota a tutti gli astrofili come M31.

La prima volta che ho sentito il nome di questa galassia è stato nel 1972, quando la RAI ha trasmesso lo sceneggiato televisivo in cinque puntate “A come Andromeda”, basato sull’omonimo sceneggiato prodotto dalla BBC nel 1961 su sceneggiatura di Fred Hoyle e John Elliot. Le varie vicende raccontate, fanno da sfondo al primo contatto con un'intelligenza aliena stabilito dagli esseri umani e che porterà i diretti protagonisti a confrontarsi con una realtà inaspettata. Dopo i titoli di testa compariva la scritta: “Questa storia si svolge in Inghilterra l'anno prossimo”.

Può sembrare strano, ma cento anni fa non era ancora chiaro cosa fossero e a quale distanza si trovassero gli oggetti del catalogo e per cercare di chiarire la situazione, il 26 aprile 1920 nell’auditorium dello “Smithsonian Museum of Natural History” di Washington fu organizzato il Grande Dibattito.

Gli astronomi Harlow Shapley e Heber Curtis si interrogarono in merito alla reale natura delle galassie e sulle dimensioni dell'Universo osservabile. La questione fondamentale del dibattito era se le nebulose distanti fossero delle piccole parti della nostra galassia, la Via Lattea, o fossero realmente delle grandi entità distinte, esterne alla nostra galassia.

Shapley riteneva che la Via Lattea costituisse la totalità dell'Universo, mentre Curtis sosteneva che Andromeda, e altre nebulose dalle caratteristiche simili, fossero delle entità separate dalla Via Lattea, e le denominò "Galassie" o "Universi-isola". Gli sviluppi successivi hanno assodato che la Via Lattea è solo una delle centinaia di miliardi di galassie contenute nell'Universo osservabile.

La notte del 5 ottobre 1923, Hubble fotografò M31 con un tempo di posa di 45 minuti. Confrontando la lastra fotografica con precedenti esposizioni, si rese conto che una stella variava la sua luminosità nel tempo con un periodo di 31,4 giorni. Si trattava quindi di un tipo di stelle variabili chiamate Cefeidi. Questa era una scoperta molto importante, perché l’astronoma americana Henrietta Swan Leavitt aveva mostrato, nel decennio precedente, che la luminosità intrinseca di questo tipo di stelle è direttamente correlata al periodo di variazione. Leavitt era arrivata a questa conclusione dopo aver analizzato migliaia di queste stelle. Questa stella venne in seguito chiamata V1 e utilizzando la relazione periodo/luminosità, Hubble calcolò la sua distanza. Il risultato fu: M31 dista 1 milione di anni luce. Hubble inviò quindi una lettera a Shapley per comunicargli la scoperta. Dopo aver letto quanto scritto, Shapley si convinse del risultato ottenuto e, parlando con un collega, disse: “Qui c’è la lettera che distrugge il mio Universo”.

Gli astronomi hanno continuato a scoprire nuove Cefeidi, migliorando (ed aumentando) il valore della distanza; le attuali misure indicano una distanza di M31 (Andromeda) di circa 2,4 anni luce. Per confronto, la nostra galassia (Via Lattea) ha un diametro di 100.000 anni luce.

Spesso viene attribuita a Edwin Hubble la scoperta dello spostamento verso il rosso (Redshift), nonostante fin dal primo decennio del secolo scorso altri astronomi avessero già intrapreso misure del genere, notando che quasi tutte le nebulose a spirale sembravano allontanarsi dalla Terra. Tuttavia Hubble fu il primo a stabilire la relazione empirica di proporzionalità esistente fra distanza e velocità di allontanamento delle galassie.

Questa relazione è nota come legge di Hubble:

z = H₀ D / c

dove z è lo spostamento verso il rosso misurato della galassia, D è la sua distanza, c è la velocità della luce e H₀ è la costante di Hubble, il cui valore stimato è attorno a 67,15 km/s/Mpc.

Breve inciso: l’anno luce è una misura che indica a che distanza si trova un oggetto che viene raggiunto da un fotone in un anno; ma gli astronomi preferiscono utilizzare il parsec (o il megaparsec, Mpc), questo perché è un’unità di misura molto pratica in astronomia (per dettagli vedete qui). La legge di Hubble venne pubblicata nel 1929 e inizialmente Hubble ottenne per H₀ circa 500 km/s/Mpc, un valore 7 volte maggiore di quello attualmente accettato. Dal valore di H₀ è anche possibile ricavare un ordine di grandezza dell'età dell'Universo: in tutti i modelli cosmologici che assumono un Big Bang infatti il tempo intercorso fra il Big Bang e l'epoca attuale è dato approssimativamente da 1/H₀ = 13,7 ± 0,8 miliardi di anni. La prima valutazione di H₀ forniva un’età di 2 miliardi di anni circa.

Per concludere, cento anni fa Albert Einstein aveva appena pubblicato la Teoria della Relatività Generale e si cominciava anche ad ipotizzare come fosse fatto l’atomo (modello di Bohr-Sommerfeld), ma non si conosceva ancora come fosse fatto l’Universo o come veniva prodotta l’energia delle stelle, la Meccanica Quantistica stava per arrivare.

https://www.google.it/webhp?tab=ww#q=storia+dell+et%C3%A0+della+terra

https://it.wikipedia.org/wiki/Grande_Dibattito

 

208. Cicloidi ed acqua

 “La storia non si ripete, ma fa rima”

Mark Twain

Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà. Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa forma: un esempio è la curva Brachistocrona (dal greco, brachistos - il più breve, chronos - tempo).

Il teorema chiave del calcolo delle variazioni classico è l'equazione di Eulero-Lagrange, che corrisponde ad una condizione di stazionarietà per il funzionale. Come nel caso della ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione, l'analisi delle piccole variazioni attorno a una presunta soluzione porta a una condizione del primo ordine. Non è però possibile dire direttamente se è stato trovato un massimo, un minimo, o nessuno dei due. I metodi variazionali sono importanti in fisica teorica: nella meccanica lagrangiana e nell'applicazione del principio di minima azione alla fisica quantistica.

Questa premessa (tratta da Wikipedia, l'enciclopedia libera) fornisce un’idea dell’ambito matematico in cui è possibile risolvere il problema che vedremo ora, di ricavare una curva che soddisfi determinate condizioni; l’effetto Mpemba, che vedremo in seguito, non ha un legame diretto con questa prima parte, ma, parafrasando la citazione di Mark Twain, in qualche modo fa rima.

Problema della Tautocrona: nel 1659 Christiaan Huygens, incoraggiato da Pascal, aveva dimostrato che la Cicloide è la soluzione al problema di trovare una curva per la quale il tempo impiegato da una particella, soggetta alla sola forza di gravità, a scivolare senza attrito lungo la curva sino al suo punto più basso, è indipendente dal punto di partenza.
Basterebbe questa proprietà a rendere la Cicloide, una curva “celebre”.

In geometria, la Cicloide è una curva piana tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; ad esempio, il disegno composto dalla valvola della camera d’aria di una bicicletta in movimento.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

Le dimensioni di una Cicloide sono legate a quella della circonferenza generatrice; per vedere le relazioni esatte potete consultare Wikipedia o Wolfram, per semplicità mi limito al caso di una generatrice di raggio 1:

                 x = t – sin t

                 y = 1 – cos t 

• l'altezza massima dell'arco è pari a 2;
• la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro, ovvero 8;
• la base sottostante l'arco è pari alla circonferenza, ovvero 2 pi (6,28);
• l'area compresa fra la cicloide e la base è tre volte l'area del cerchio (3 pi).

Quest’ultima proprietà era già stata ricavata da Galileo Galilei, che, non riuscendo a calcolarla, ritagliò una sagoma di metallo e la pesò, confrontandola poi con la sagoma della circonferenza generatrice.

Problema della Brachistocrona: nel 1696, Johann Bernoulli pose una domanda ai lettori degli Acta Erudidorum. Supponiamo di avere 2 punti A e B, con A posizionato ad una altezza maggiore di B (ma non sulla stessa verticale). L’idea è di costruire uno scivolo curvo da A a B e farci scivolare sopra una biglia. Domanda: quale curva dobbiamo utilizzare, se vogliamo raggiungere B nel minor tempo possibile? Molti matematici furono in grado di fornire la risposta corretta, inclusi Newton, Leibniz, Bernoulli stesso e suo fratello Jakob.

La soluzione, anche in questo caso, è la Cicloide.

La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata Brachistocrona, ossia (curva del) tempo più corto, e, come anticipato nella premessa, la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.

Quando Pascal la ripropose ci fu una vera esplosione di interessi e di studi intorno alla curva, spesso così appassionati e accesi che la Cicloide fu definita “la bella Elena” della geometria. Il pendolo cicloidale è un tipo di moto periodico ideato da Christiaan Huygens intorno al 1659 con una interessante proprietà: le sue oscillazioni sono isocrone indipendentemente dalla loro ampiezza. Questo vale nel caso del pendolo semplice solo per ampiezze abbastanza piccole. Huygens dimostrò invece che un punto materiale che oscilla seguendo una traiettoria cicloidale sotto l'azione della gravità ha un periodo costante che dipende unicamente dalle dimensioni della Cicloide.

Nelle 3 figure (tratte dal video https://www.youtube.com/watch?v=qtpaauuGx-Y) sono presenti 6 curve: 3 di queste (curve 3, 4 e 5) sono archi di Cicloide, mentre le prime 2 hanno una pendenza iniziale maggiore e l’ultima ha pendenza costante (piano inclinato). Inoltre, le palline poste sulle Cicloidi partono da posizioni differenti. Quello che si verifica è che le palline poste sulle 3 Cicloidi arrivano prima (Brachistocrona) e contemporaneamente (Tautocrona).

Non so voi, ma a me il fatto che esista una curva con queste caratteristiche e che si possa ricavarla partendo da semplici presupposti a cui deve soddisfare, riesce sempre a stupirmi; cioè mi sembra controintuitivo il fatto che l’istante di arrivo sia indipendente dal punto di partenza sulla curva. Lo stesso stupore lo provo nel caso dell'effetto Mpemba, riscoperto casualmente nel 1969 dallo studente tanzaniano Erasto Mpemba (in realtà questo effetto venne già descritto nel IV secolo a.C. da Aristotele). E la rima è che, anche qui, si ottiene una cosa poco intuitiva, perché arriva prima chi parte da più lontano (con la distanza misurata dalla differenza di temperatura).

Nel 1963 il tredicenne Mpemba frequentava le scuole medie di Magambe, in Tanzania, quando si accorse di un fenomeno bizzarro, un’anomalia che ancora oggi non è possibile spiegare con certezza: a lui e ai suoi compagni di classe piaceva il gelato, che preparavano in casa con latte portato a bollore, zuccherato e messo poi in freezer dopo averlo fatto raffreddare fino a temperatura ambiente. Nel frigo c’era poco spazio e ogni volta che si faceva il gelato c’era la corsa per infilare i recipienti per primi. Un giorno, mentre aspettava con il pentolino sul fuoco, Mpemba si accorse che un suo compagno stava miscelando lo zucchero nel latte freddo per fare prima. Era rimasto un solo spazio nel freezer e non poteva aspettare. Decise quindi di mettere il latte zuccherato ancora bollente nel frigo, rischiando inoltre di danneggiare l’elettrodomestico. Un’ora e mezzo dopo, i ragazzi trovarono qualcosa di strano: il gelato di Mpemba era pronto, mentre per gli altri preparati regolarmente, il liquido non era ancora completamente solidificato.

Effetto Mpemba: si osserva sperimentalmente che, a parità di condizioni, l’acqua calda congela prima di quella fredda.

Attenzione: il fatto che serva meno tempo, non implica che serva meno energia, ma solo che il trasferimento di calore è più efficiente.

Esiste anche l’effetto opposto: effetto Leidenfrost, un fenomeno fisico che si può osservare quando una sostanza liquida entra in contatto con una superficie avente temperatura significativamente più alta del suo punto di ebollizione. Lo strato più esterno del liquido evapora, producendo uno strato gassoso isolante che impedisce al resto di raggiungere rapidamente la temperatura di ebollizione. Se invece la temperatura è elevata ma resta un po' al di sotto del punto di Leidenfrost l'evaporazione avviene quasi istantaneamente. Un effetto simile si ottiene versando dell'azoto liquido su un pavimento a temperatura ambiente.

Sto leggendo l’interessante “Il libro dell’acqua” di Alok Jha che parla di questo effetto e di molte altre cose. Lo citerò ancora in un prossimo post, per ora mi limito a commentare un’altra particolare e fondamentale caratteristica dell’acqua.

Di norma quando si passa dallo stato liquido a quello solido, si ha un aumento del peso specifico. Per l’acqua questo non vale: in altre parole il ghiaccio galleggia.

Cosa accadrebbe se il ghiaccio non galleggiasse?

La risposta è che questa caratteristica unica risulta indispensabile affinché la vita possa evolversi. Se l'acqua fosse come tutte le altre sostanze, il ghiaccio sarebbe più denso dell'acqua liquida e formandosi nei mari e nei laghi affonderebbe. La pressione sui fondali, dove il ghiaccio si andrebbe raccogliendo, contribuirebbe a mantenere allo stato solido quest'acqua e anno dopo anno se ne formerebbe di nuovo in superficie per poi affondare ancora. Il risultato sarebbe un progressivo congelamento dell'acqua presente in molte zone della Terra, con la conseguente distruzione di tutte le forme di vita presenti sui fondali marini. Inoltre, lo strato di ghiaccio superficiale galleggiante, quando si forma, isola l'oceano sottostante prevenendone il congelamento e la grande pressione degli abissi mantiene liquida anche la freddissima acqua sui fondali. In tale modo essa è disponibile come indispensabile solvente per le creature che vi abitano, e la vita che nell’acqua ha avuto origine, nel cosiddetto brodo primordiale, ha potuto proliferare giungendo sino a creature complesse quali siamo noi. La risposta alla domanda iniziale è quindi che se il ghiaccio non galleggiasse, probabilmente non saremmo qui a parlarne. 

 

http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html

http://scienzaemusica.blogspot.it/2014/10/il-problema-della-brachistocrona.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid
http://www.mathcurve.com/courbes2d/cycloid/cycloid.shtml

207. Wireless

Il cavo sottomarino è un’invenzione dell’ottocento, ma dopo l’avvento di internet e l’esplosione delle comunicazioni elettroniche ha conosciuto una seconda giovinezza.
Al contrario di quello che si può immaginare, i satelliti hanno un ruolo secondario nel traffico di voce e dati, quasi il 99% di questi passa attraverso cavi.

Le comunicazioni intercontinentali utilizzano 900.000 chilometri di cavi (22 volte il giro del mondo) che collegano tutti i continenti e la maggioranza delle isole abitate.

In questo sito  http://www.submarinecablemap.com/  è possibile visualizzare dove sono posizionati i cavi sottomarini.

 

Wireless è una parola che abbiamo imparato ad usare negli ultimi decenni, ma se utilizziamo la traduzione italiana “senza fili” ci rendiamo conto che non è poi così recente. Il Premio Nobel per la Fisica del 1909 venne assegnato a Guglielmo Marconi e Karl Ferdinand Braun: "in recognition of their contributions to the development of wireless telegraphy".

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1909/

Questo post è dedicato a Keith Emerson il "signore" del Moog che in mezzo ai cavi si destreggiava benissimo.

206. I ragazzi del coro

In quanti modi 8 coristi possono cambiare di posto, così da trovarsi ogni volta disposti in modo diverso?

(La risposta è: 8! = 40.320)

Ad ogni incontro si scattano una foto ricordo; se si ritrovano tutte le sere, quante foto accumuleranno a fine carriera e quante volte nelle foto avranno la stessa disposizione?

10.000 giorni sono all’incirca 27 anni e 20 settimane. Per superare 40.320 serate servono 110 anni e quindi difficilmente si ripeteranno 2 disposizioni uguali.

Impilando le fotografie di 80 anni (quasi 30.000 con più di 800 rullini), si raggiungerebbe un’altezza di diversi metri, ma se ogni foto avesse una risoluzione di 5 MPixel, potremmo memorizzarle tutte in una scheda da 64GB (la storia di una vita memorizzata in un piccolo chip).
Nel film Smoke, Auggie, il protagonista interpretato da Harvey Keitel, ha una curiosa passione. Ogni mattina alle otto precise esce dalla sua tabaccheria, piazza la macchina sul treppiede e fotografa sempre lo stesso scorcio di Brooklyn. Auggie esegue questa operazione con costanza per anni, estate e inverno, con la pioggia o con il sole, catalogando le foto che conserva in diversi album.

Non è difficile immaginare come diverge il risultato aumentando il numero di coristi. La Fisica risolve il problema introducendo concetti come Pressione e Temperatura.


Le leggi della Termodinamica sono principi generali che hanno un contenuto macroscopico. In essi non compare nessun riferimento esplicito agli atomi che compongono il sistema in esame, sono quindi indipendenti dai possibili modelli microscopici che possono rappresentare gli atomi e le molecole del sistema. Tali principi si possono usare anche quando non si conosce nulla in riguardo alla composizione atomica. E’ importante ricordare che le leggi della Termodinamica furono introdotte molto prima che si stabilisse una teoria atomica della materia.
Se combiniamo i concetti statistici con la conoscenza microscopica del sistema, la nostra possibilità di comprendere e fare previsioni risulta molto accresciuta. Otteniamo così la disciplina della Meccanica statistica. Siamo quindi in grado di calcolare le proprietà di sistemi macroscopici sulla base di dati microscopici. E’ quindi possibile calcolare l’entropia (misura del disordine presente in un sistema fisico)  da principi primi. Ludwig Boltzmann ha sintetizzato questo nel principio:

S = k ln W

Nella termodinamica classica l'entropia S è una funzione di stato di un sistema in equilibrio termodinamico, che, quantificando l'indisponibilità di un sistema a produrre lavoro, si introduce insieme con il secondo principio della termodinamica.

L'approccio molecolare della meccanica statistica generalizza l'entropia alle possibili diverse disposizioni W dei livelli molecolari in cui può trovarsi macroscopicamente un sistema. In base a questa definizione si può dire, in forma non rigorosa, che quando un sistema passa da uno stato di equilibrio ordinato a uno disordinato la sua entropia aumenta; questo fatto fornisce indicazioni sulla direzione in cui evolve spontaneamente un sistema.

Tomba di Boltzmann

“Tutto ciò che esiste nell'universo è frutto del caso e della necessità”   Democrito

Se con 8 coristi si possono ottenere le combinazioni riportate sopra, possiamo immaginare che cosa sia possibile ottenere con un coro composto da 7,4 miliardi di persone (attuale popolazione mondiale – 6 miliardi nel 2000). Questo tipo di considerazioni, risultano però in contrasto con la Teoria del mondo piccolo che sostiene che tutte le reti complesse presenti in natura sono tali che due qualunque nodi possono essere collegati da un percorso costituito da un numero relativamente piccolo di collegamenti. La sua nascita può essere fatta risalire ad una serie di esperimenti condotti da Stanley Milgram che esaminavano la lunghezza media del percorso per reti sociali tra residenti negli Stati Uniti.

Negli anni ’50 lo psicologo Milgram ideò un esperimento interessante. Un centinaio di lettere dovevano essere inviate a Boston da una cittadina del Nebraska senza usare la normale procedura postale, ma con le seguenti regole: chi riceve una lettera per un destinatario a lui sconosciuto può soltanto spedirla a un suo diretto conoscente, che proseguirà con la stessa regola. Ad ogni passo la cerchia dei destinatari è limitata alle conoscenze dirette del mittente, che sceglierà la persona che presumibilmente più si avvicina al destinatario finale. Se questi per esempio è un medico o un idraulico, cercherà un conoscente che rientra nella categoria, oppure cercherà di far avanzare il messaggio geograficamente mandandolo al conoscente che abita più vicino alla destinazione finale, o tutte due le cose assieme. Le due località iniziale e finale furono selezionate da Milgram con l’intento preciso che fossero estremamente diverse tra loro, come posizione geografica e composizione sociale. I risultati furono sorprendenti: la maggioranza delle lettere arrivò a destinazione, e ci arrivò con un numero medio di passaggi decisamente basso. Milgram dimostrò che in media 6 passaggi erano sufficienti per recapitare la lettera, e arrivò alla conclusione che, secondo una relazione di conoscenza diretta, ogni persona degli Stati Uniti è “separata” da qualsiasi altra soltanto da una catena di relazione lunga 6. L’esperimento diventò molto famoso, tanto da ispirare anche un pezzo teatrale, trasformato poi nel 1993 in un film dal titolo: Sei gradi di separazione.


A volte il caso …

Tsutomu Yamaguchi stava scendendo dal tram ad Hiroshima il 6 agosto 1945 ed essendo sopravvissuto all’esplosione della bomba atomica, denominata Little Boy, volle tornare subito nella sua città natale. Fu accontentato e venne quindi riportato a Nagasaki; dove, dopo lo scoppio della seconda bomba atomica, visse fino al 4 gennaio 2010. A ottant'anni scrisse un'autobiografia riguardante la sua esperienza, e fu invitato a partecipare a un documentario (nel 2006) intitolato Nijuuhibaku (Bombardati due volte) sulle 165 persone ufficialmente vittime di entrambe le bombe atomiche giapponesi. Fu un attivista anti-nucleare, e si prodigò presso l'assemblea generale delle Nazioni Unite affinché le armi nucleari fossero bandite. In una intervista disse: "La ragione per cui odio le bombe nucleari è per ciò che fanno alla dignità degli esseri umani".
 

 

Il concetto di entropia venne introdotto agli inizi del XIX secolo, nell'ambito della termodinamica, per descrivere una caratteristica (la cui generalità venne osservata per la prima volta da Sadi Carnot nel 1824) di tutti i sistemi allora conosciuti, nei quali si osservava che le trasformazioni avvenivano spontaneamente in una direzione sola, quella verso il maggior disordine.

In particolare la parola entropia venne introdotta per la prima volta da Rudolf Clausius nel suo “Trattato sulla teoria meccanica del calore” pubblicato nel 1864. Entropia deriva dal greco ἐν en, "dentro", e da τροπή tropé, "cambiamento".

Esistono diversi enunciati equivalenti del Secondo principio della termodinamica. Quelli che storicamente si sono rivelati più importanti sono:

«È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l'apporto di lavoro esterno» (formulazione di Clausius).

«È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea» (formulazione di Kelvin-Planck).

«È impossibile realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%.»

«È impossibile realizzare il moto perpetuo.»

Nella Fisica moderna la formulazione più ampiamente usata è quella che si basa sulla funzione entropia:

«In un sistema isolato l'entropia è una funzione non decrescente nel tempo.»

Questo principio ha avuto, da un punto di vista storico, un impatto notevole. Infatti, tramite la non reversibilità dei processi termodinamici, definisce la freccia del tempo.

Boltzmann fu il primo a mettere in relazione entropia e probabilità nel 1877, ma sembra che tale relazione non sia mai stata espressa con una specifica costante finché Planck, nel 1900 circa, introdusse per primo k_B, calcolandone il valore preciso, e dandole il nome in onore di Boltzmann.

Infatti l'equazione S = k_B log W presente sulla tomba di Boltzmann è dovuta a Planck, che la introdusse nello stesso articolo in cui introdusse la costante di Planck h. Come Planck ha scritto nella sua Nobel lecture nel 1920:

«Questa costante è spesso chiamata costante di Boltzmann, sebbene, per quanto ne so, Boltzmann non l'ha mai introdotta — una situazione particolare che può essere spiegata con il fatto che Boltzmann, come risulta dalle sue esternazioni occasionali, non ha mai pensato alla possibilità di effettuare una misurazione esatta della costante.»

 

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

 

F.Luccio - L.Pagli, Storia matematica della rete, Bollati Boringhieri, Torino, 2007

 

205. Pi Greco

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving

quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard ...

3.14159265358979323846264...

E rieccoci a marzo, il mese del Pi Day.

Occasioni per parlare del Pi Greco ce ne sono sempre molte; che si parli di matematica, fisica o altre scienze, in un modo o nell’altro questo numero appare.

E’ conosciuto anche come costante di Archimede o costante di Ludolph.

E’ un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come quoziente di due interi, come dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Ciò significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui Pi è radice, quindi è impossibile esprimere Pi usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.

 

Le figure di questo post sono prese da Wikipedia e dal sito di Paolo Lazzarini. Alcuni argomenti sono invece stati tratti dal libro di “Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, 1988” che riesce sempre ad essere una fonte di ispirazione inesauribile.

10 libri (di scienza) 

Un ottimo sito da cui cominciare l’esplorazione di Pi Greco:

The Joy of Pi

E in italiano il sito di Mauro Fiorentini.

 

La rivista “Sapere” bandì un concorso fra i propri lettori, per trovare frasi mnemoniche che aiutassero a esprimere le cifre di Pi Greco. Le risposte migliori furono pubblicate nel numero del 28 febbraio 1935. Ettore Siboni propose la seguente:

“Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga

    3   1     4    1      5           9        2    6       5     3      5          8               9             7

spargesti con la tua saggezza …”

      9          3   2   3        8


Nello stesso numero della rivista furono pubblicate le migliori risposte pervenute per ricordare e, base dei logaritmi naturali:     2,718281828459…
“La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata …”
“La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace …”

Suresh Kumar Sharma (India) lo scorso 21 ottobre 2015 ha stabilito il record mondiale, recitando a memoria le prime 70.030 cifre del Pi Greco in 17 ore e 14 minuti.

http://www.pi-world-ranking-list.com/index.php?page=lists&category=pi

Akira Haraguchi (Giappone) sostiene di aver recitato 100.000 cifre il 3 ottobre 2006, in 16 ore, anche se i “Guinness dei primati” non hanno ancora accettato il record stabilito.

Domanda:

Qual è la probabilità che 2 interi, scelti a caso, siano primi tra loro?

Supponiamo che 500 persone scrivano un numero a caso e (sempre a caso) con questi numeri vengano formate 250 coppie; tra queste se ne troverebbero 152 costituite da numeri primi tra loro (quando 2 numeri hanno come unico DIVISORE COMUNE  l'unità, essi si dicono PRIMI TRA LORO o COPRIMI). 

Per l’esattezza la risposta è:   6/π²

Questo valore può essere ottenuto come reciproco del prodotto di Eulero:

ponendo s = 2.

Il calcolo dei valori esatti della funzione zeta è stato un compito piuttosto difficile. Eulero riuscì nel 1735 ad ottenere una formula esatta per la funzione zeta di 2. Il suo metodo si poteva applicare per tutti gli s pari: 

https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_zeta_di_Riemann

Qual è la probabilità che n interi, scelti a caso, siano primi tra loro?

La risposta è un’estensione della precedente, ponendo s = n.

Una dimostrazione potete trovarla qui.

http://zibalsc.blogspot.it/2011/02/34-formula-prodotto-di-eulero.html

 

Nel primo milione di cifre di Pi Greco ci sono: 

  99.959         0

  99.757         1

100.026         2

100.230         3

100.230         4

100.359         5

  99.548         6

  99.800         7

  99.985         8

100.106         9

GEOMETRIA SFERICA

Definizione (da Wikipedia, l'enciclopedia libera):

Nella geometria, una circonferenza è un luogo geometrico di punti del piano costituito da punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio, mentre il doppio del raggio è detto diametro.
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio.

La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è: 

C = 2 Pi . r         oppure        C = Pi . d

Dove:

C sta per circonferenza;

Pi sta per pi greco;
r sta per raggio del cerchio;
d sta per diametro del cerchio.

E’ importante notare quanto scritto nella definizione: “luogo geometrico di punti del piano”, questo non garantisce che valga in generale; vediamolo meglio con un esempio non piano.

Per semplicità pensiamo alla Terra come ad una sfera con 6.366 km di Raggio e, quindi, 40.000 km di circonferenza massima (Equatore) e tracciamo una circonferenza (come luogo di punti equidistanti da un punto fisso, che in questo esempio coinciderà con il Polo Nord).

Per un raggio di piccole dimensioni (paragonato al Raggio della Terra), il rapporto tra circonferenza e raggio vale circa 6,28 (2 Pi Greco). Ma se aumentiamo la distanza a 10.000 km, raggiungiamo l’Equatore.

In questo caso, il raggio della circonferenza vale appunto 10.000 km, mentre la circonferenza 40.000 km.
Il rapporto C/r è quindi 4 (decisamente inferiore a 6,28).

I Cerchi Olimpici visti da Banksy

 

Mauro Fiorentini:                    http://www.bitman.name/math/article/84/

                                               http://www.bitman.name/math/article/86/

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