Zibaldone Scientifico: novembre 2016

lunedì 28 novembre 2016

222. Paralipomeni e DNA

Cominciamo con un'aggiunta di cose precedentemente tralasciate (paralipomeni - dal greco paraleipómena, appunto omettere o tralasciare).

Nel post 221 abbiamo visto come Didone, prendendo tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di bue", riuscì ad ottenere il terreno per fondare Cartagine, tagliando la pelle di un toro in tante striscioline e mettendole in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città, riuscendo a occupare un terreno di poco meno di 1 km². Da un rapido conto si può vedere che tagliando in striscioline larghe 2 mm, una pelle di toro di 4 m², unendole una all’altra, si ottiene una lunghezza totale di 2 km. Se Didone avesse fatto strisce più sottili avrebbe potuto prendere più terreno.

Andiamo ora nel diciannovesimo secolo.

Era il 1868 e il chimico, medico e fisiologo tedesco Friedrich Miescher, da alcune cellule di pus, preleva quello che tempo dopo si sarebbe chiamato acido nucleico. Passano 20 anni. Albrecht Kossel, biologo svizzero, ne scopre i costituenti: acido fosforico, zucchero e basi azotate. Negli anni venti si scopre che quando lo zucchero è desossiribosio, si ha l’acido desossiribonucleico o DNA. Tralascio alcuni studi, anche se importanti, e arrivo al 1944, quando Erwin Schrödinger (quello della famosa equazione) pubblica il famoso libro “Che cos’è la vita” dove vengono elaborate e raccolte le lezioni da lui tenute al Trinity College nel febbraio del 1943. La questione centrale è “come la cellula sia governata da un codice inscritto nei geni” e Schrödinger suggerisce l’ipotesi che la molecola del gene deve essere un cristallo aperiodico, formato da una sequenza di elementi isomerici che costituiscono il codice ereditario. Tale codice contiene il piano di sviluppo dell’organismo.

Dieci anni più tardi, nel 1953, Francis Crick, James Watson, Rosalind Franklin e Maurice Wilkin scopriranno la struttura del DNA. La struttura a doppia spirale del DNA e il meccanismo di duplicazione nel corso della divisione cellulare (mitosi) permettono a ciascuna delle 2 spirali di generare la sua controparte fabbricando le basi necessarie. Anche il famoso chimico Linus Pauling aveva intrapreso la stessa strada, ma senza portare a termine le ricerche. Pauling era stato professore di Crick e Watson; a quel tempo aveva già scoperto molte strutture della chimica organica. Come aneddoto ricordo che il ruolo ispiratore di Pauling fu comunque riconosciuto dalla giuria del premio Nobel che, nello stesso anno in cui premiò Crick e Watson, attribuì anche a lui il premio Nobel (ma per la Pace).

Il peso medio di ogni coppia di basi (Adenina-Timina o Citosina-Guanina) è di 650 dalton (1 dalton è definito come la massa di un atomo di Idrogeno, 1.67 x 10^-24 grammi). Una molecola di DNA ha un corredo di circa 3.3 miliardi di paia di basi e un peso medio di 3.3 x 10⁹ x 650 Dalton = 2.15 X 10¹² Dalton = 3.59 x 10^-12 grammi.

Se stiriamo le 2 spirali ponendole in serie, l’estensione sarà poco meno di 2 metri. Allineando tutte le molecole di DNA, contenute nelle cellule di un corpo umano, copriremmo 600 volte la distanza Terra-Sole andata e ritorno!

In un adulto di 80 kg ci sono circa 8 x 10²⁷ atomi. In media, l’87% degli atomi sono Idrogeno o Ossigeno. In una tipica cellula umana ci sono circa 10¹⁴ atomi, ed è interessante notare che il numero di cellule nel corpo umano è anch’esso circa 10¹⁴.

In modo analogo in una galassia media ci sono circa 2 x 10¹¹ stelle e nell’Universo sono stimate circa 2 x 10¹¹ galassie. Questo sembra più di una semplice coincidenza.

http://chemistry.about.com/od/biochemistry/a/How-Many-Atoms-Are-In-The-Human-Body.htm

http://slideplayer.com/slide/9244093/

www.sanger.ac.uk

domenica 6 novembre 2016

221. Una proprietà della Catenaria

La successione di Didone al trono di Belo, re di Tiro, di cui era figlia primogenita, fu contrastata dal fratello Pigmalione, che le uccise segretamente il marito Sicheo e prese il potere al suo posto. Probabilmente con lo scopo di evitare la guerra civile, Didone lasciò Tiro con un largo seguito e cominciò una lunga peregrinazione, le cui tappe principali furono Cipro e Malta.

Approdata infine sulle coste libiche, Didone ottenne dal re Iarba il permesso di stabilirvisi, prendendo tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di bue". L'antico soprannome di Cartagine, infatti, era "Birsa", che in greco significa "pelle di bue". Didone scelse una penisola, tagliò astutamente la pelle di toro in tante striscioline e le mise in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città di Cartagine e riuscì a occupare un terreno di circa ventidue stadi quadrati (uno stadio equivale a circa 185,27 m). Da questa leggenda è nato il cosiddetto problema di Didone.

Cartagine

Didone è una figura mitologica, fondatrice e prima regina di Cartagine. Secondo la narrazione virgiliana si innamorò dell'eroe troiano Enea, figlio di Anchise, quando si rifugiò a Cartagine prima di arrivare nel Lazio, e lo sposò. Disperata per la partenza improvvisa di Enea, costretto dal Fato, Didone si uccise con la spada di Enea.

Con la corda composta dalle striscioline, la principessa fece congiungere le rive dai lati opposti dell’altura, acquisendo così la proprietà della collina ed un comodo sbocco sul mare; inoltre viene specificato che Didone fece disporre la corda a forma di semicerchio in modo da racchiudere la maggior area possibile. Questo racconto alimentò la curiosità dei matematici: infatti porta con sé la questione del perché Didone avesse scelto proprio la forma semicircolare per delimitare quella che riteneva essere la maggior superficie possibile. Il problema, chiamato spesso problema isoperimetrico, si può riformulare chiedendo quale sia la figura geometrica che a parità di perimetro ha area maggiore. La soluzione è intuitivamente il cerchio. Per dimostrare questo risultato si dovette attendere il 1838 quando Jakob Steiner ci riuscì mediante un processo noto come simmetrizzazione di Steiner. Successivamente la sua dimostrazione fu perfezionata e resa più rigorosa da altri matematici come Karl Weierstrass.

Si tratta di ottenere il massimo risultato con un dato sforzo o viceversa un risultato desiderato con il minimo sforzo. Da questa doppia formulazione dello stesso problema, vediamo che non vi è alcuna differenza essenziale fra massimo e minimo, cioè possiamo semplicemente parlare di valori estremi. Un campo in cui il principio di minimo si è mostrato utile è la statica, la scienza dell’equilibrio. Un corpo che si muove su una superficie liscia sotto l’influenza della forza di gravità, si ferma in equilibrio stabile nel punto più basso. Se abbiamo un sistema meccanico formato da diversi corpi, come ad esempio una collana di perle, il centro di gravità del sistema all’equilibrio sarà situato il più in basso possibile. In altre parole, per trovare l’equilibrio stabile, si deve cercare la posizione in cui l’altezza del baricentro sia un minimo. Il prodotto di questa altezza per la forza di gravità è chiamato energia potenziale. Una catena, costituita da moltissime parti e sospesa agli estremi, assume una forma definita dalla condizione che l’altezza del suo baricentro sia un minimo. Abbiamo a che fare con un problema variazionale e fra le infinite curve di ugual lunghezza, quella con il baricentro più basso viene chiamata catenaria.

Da Wikipedia - In matematica, la catenaria è una particolare curva piana iperbolica (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento è quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.

L'equazione della catenaria può essere espressa matematicamente tramite il coseno iperbolico:

http://www.wikiwand.com/en/Catenary

Il problema era già stato considerato da Leonardo da Vinci nel XV secolo. Galileo Galilei credette che la parabola potesse essere l’equazione giusta, ma in seguito nel 1669 il matematico tedesco Joachim Jungius dimostrò che non era così. Ma furono Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens e Johann Bernoulli a ricavare nel 1691 l’equazione corretta, che, al contrario della parabola, era una curva non algebrica. Galilei non aveva però sbagliato del tutto; nella catenaria la distribuzione del peso della catena è uniforme per ogni lunghezza di arco, mentre nei ponti sospesi, dove alla catena sono appesi i tiranti che sostengono il ponte, la distribuzione del peso è uniforme per unità orizzontale di lunghezza e la curva è in questo caso una parabola. Nel caso di una vela gonfiata dal vento si ottiene la stessa curva, solo che viene chiamata velaria. Abbiamo già detto in un precedente post, che tra le proprietà della catenaria c’è quella di essere l’evoluta di una trattrice.

Si può provare che la catenaria è la curva cercata da Eulero che soddisfa la condizione: la superficie ottenuta dalla rotazione della catenaria è detta catenoide ed è la superficie di area minima che ha come bordo due circonferenze nello spazio poste su piani paralleli.

Catenoide

Se si considera una linea retta parallela all’asse delle x (con equazione y = k), I’area compresa nell’intervallo [a,b] è semplicemente quella del rettangolo di lati “k” e “b-a”. Si può anche dire che l’area è proporzionale alla lunghezza del segmento della curva (in questo caso della retta).

Ebbene, esiste un’altra curva che possiede la stessa proprietà: la catenaria.