Dedicato
a chi si occupa di scienza
e
di divulgazione scientifica.
E’ ricominciato il carnevale della
Fisica, anzi addirittura ce ne sono due:
Il (non) carnevale della fisica
e questa è una buona notizia.
Se dovessi scegliere una sola formula,
tra le tante che si possono trovare in un libro di Fisica, avrei sicuramente
l’imbarazzo della scelta.
Ma dovendo fornire una sola risposta, la scelta
sarebbe:
Rµν
– ½ gµνR = k Tµν
L’equazione lega la curvatura dello spazio-tempo al tensore energia-impulso che descrive la
densità e il flusso di materia-energia.
I membri dell'equazione sono tensori simmetrici di dimensione 4x4,
contenenti quindi 10 componenti indipendenti (sarebbero 16 se non fossero
simmetrici) che variano in funzione del punto considerato.
Il membro a sinistra dell'uguaglianza
misura la curvatura e la geometria dello spazio-tempo, mentre quello di destra
misura la densità e il flusso di materia e energia. L'equazione descrive quindi
in che modo la materia "curva" lo spazio-tempo e ne determina la
geometria; a sua volta la curvatura dello spazio-tempo “determina” come la
materia si muove (geodetiche).
In fisica e matematica esistono grandezze scalari (come temperatura o massa)
e grandezze vettoriali (per esempio
forza e velocità), però si possono anche definire oggetti geometrici, come i
tensori, di ordine superiore: uno scalare è un tensore di ordine zero (senza indici), un vettore è un tensore di ordine 1 (con un indice) e
allo stesso modo vengono definiti i tensori
di ordine n (con n indici).
Si tratta di un sistema di 10 equazioni
differenziali alle derivate parziali non lineare nelle incognite del tensore
metrico.
Una volta trovata, la “metrica” si
utilizza poi nella equazione geodetica del moto.
In parole più semplici, la distanza (metrica)
tra due punti nello spazio-tempo risulta definita dalla distribuzione della
materia (e dell’energia); questo ci permette di calcolare il cammino più breve
(geodetica) che percorre un corpo in caduta libera od in orbita intorno ad un
pianeta.
Einstein ebbe a dire che la parte sinistra della equazione è fatta di
puro marmo pregiato e rappresenta la geometria dello spazio-tempo, mentre
quella destra è fatta di volgare legno e rappresenta l’energia-materia tramite
il tensore energia-impulso.
Il motivo di questa affermazione
consiste nel fatto che il tensore sulla destra dell’equazione rappresenta in
modo impreciso la distribuzione della
materia, non tenendo conto della sua reale composizione.
L’importanza della geometria
non-euclidea per lo spazio fisico cominciò a chiarirsi dopo la pubblicazione
postuma del fondamentale trattato di Bernhard Riemann “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”.
Nella geometria euclidea vale il
teorema di Pitagora, cioè utilizzando un sistema di coordinate cartesiane, per
la distanza “s” di un punto dall’origine vale s2
= x2 +y2
o se ci si limita a spostamenti molto
piccoli (infinitesimi) che si
indicano “ds” si ha:
ds2
= dx2 + dy2
La forma più generale per una
superficie curva è invece:
ds2
= g11 dx2 + 2 g12 dx dy + g22 dy2 = gjk
dxj dxk .
Dove le gik
, simmetriche in j e k , sono le componenti di un tensore
che descrive le proprietà metriche (e quindi il campo gravitazionale) del
sistema.
Riemann postulò la validità del
teorema di Pitagora nell’infinitamente piccolo.
Utilizzando le parole di Einstein:
“Se nella teoria della Relatività
Generale esiste un equazione analoga a quella di Poisson, deve trattarsi di
un’equazione tensoriale per il tensore gµν
del potenziale gravitazionale; il tensore energetico della materia dovrà poi
figurare in essa a secondo membro, mentre a primo membro dovrà figurare un
tensore differenziale nelle gµν.
Dobbiamo ora ricercare tale tensore differenziale, il quale risulta
completamente determinato dalle 3 condizioni seguenti:
1)
non deve contenere alcuna derivata delle
gµν
di ordine superiore al secondo;
2)
deve essere lineare e omogeneo nelle
derivate seconde;
3)
la sua divergenza deve essere
identicamente nulla.
Le prime 2 condizioni sono tratte
naturalmente dall’equazione di Poisson.”
La terza condizione è necessaria per
poter soddisfare il principio di conservazione dell’energia.
Dal tensore gµν
e dalle sue derivate prime possono essere costruite delle grandezze (connessione
affine) che non hanno però le caratteristiche di un tensore in quanto possono
essere annullate scegliendo un opportuno sistema di riferimento. Senza entrare
troppo nei dettagli, queste rappresentano il campo gravitazionale, che può
venire annullato localmente scegliendo un sistema in caduta libera.
Utilizzando anche le derivate seconde
Riemann riuscì a ricavare il tensore di curvatura che porta il suo nome.
Anche in questo, come nel caso della
meccanica classica, non sono necessarie derivate di ordine superiore.
Come visto nel precedente post: 13. Equazioni del moto
la derivata prima della posizione
fornisce la velocità, mentre la sua derivata seconda l’accelerazione e moltiplicando
questa per la massa si arriva alla definizione di forza
F = ma
Ora dalla legge di gravitazione universale di Newton che determina la forza
esercitata tra due oggetti di massa m1 ed m2 ad una certa
distanza R, si riesce a ricavare l’accelerazione con la quale un oggetto
modifica il proprio moto a causa di un’altra massa.
E’ infine illuminante come sia
semplice la forma delle equazioni di campo di Einstein nel vuoto (che
permettono di calcolare i moti di tutti gli oggetti sottoposti ad un campo
gravitazionale, come proiettili o pianeti):
Rµν
= 0
Credo che sia difficile trovare una
formula più elegante di questa.
Per completezza riporto l’equazione di
Einstein nelle due versioni e le loro corrispondenti in meccanica classica:
equazioni di Poisson e di Laplace.
Con visione profetica Riemann scrisse:
“Le basi della determinazione metrica devono essere cercate nelle forze di
legame che agiscono su di essa”
L’anticipazione di Riemann di una
dipendenza della metrica dai dati fisici, sembra sia stata la soluzione logica
di un dilemma. Poiché tale curvatura è una proprietà intrinseca dello spazio,
ossia può essere determinata da misure geometriche all’interno dello spazio
stesso. Le indicazioni di Riemann vennero ignorate dalla maggior parte dei
matematici e dei fisici suoi contemporanei. Le sue ricerche sembrarono troppo
speculative e teoriche. Il solo che si accostò a Riemann fu il traduttore in
inglese delle sue opere, William Kingdon Clifford. Già nel 1870 Clifford aveva visto nella concezione dello spazio
di Riemann la possibilità di fondere la geometria con la fisica. Per Riemann la
materia era la causa della struttura dello spazio. Clifford invece concepì la
materia e il suo moto come una manifestazione del variare della curvatura. Egli
suppose che la curvatura riemanniana potesse dare origine a mutamenti nella
metrica del campo alla maniera delle onde, causando in tal modo increspature
che potevano essere interpretate come movimento della materia.
Per Aristotele lo spazio era un
accidente della sostanza; per Clifford la sostanza è un accidente dello spazio.
Ma perché non si giunse subito ad
una nuova teoria fisica?
Cosa mancava?
Mancava la teoria della Relatività
Ristretta, ma soprattutto la visione successiva di Hermann Minkowski che con l’introduzione dello spazio-tempo come continuo quadridimensionale fornì il
corretto ambito in cui sviluppare la nuova teoria.
La gravitazione, come viene
interpretata dalla teoria della Relatività Generale, deve essere compresa nella
struttura geometrica dello spazio-tempo. Questa fusione rende la teoria in
accordo (per definizione) con quanto predetto (e sperimentato) dalla Relatività
Ristretta e alla spiegazione dei famosi effetti osservabili: spostamento del
perielio di Mercurio, deviazione dei raggi luminosi, ecc.).
Il procedimento per giungere alla RG
fu molto complesso e durò circa 10 anni. Si basa su una intuizione di Einstein del
1907: il Principio di Equivalenza.
Questo permette di estendere il
principio di relatività a qualsiasi osservatore in moto accelerato e porta alle
equazioni che spiegano la precessione del moto del perielio di Mercurio
(sebbene utilizzando approssimazioni successive e non la soluzione esatta trovata
successivamente da Karl Schwarzschild).
Tornato in Svizzera ne parla con l’amico
e collega Marcel Grossmann e dopo
qualche anno riesce a generalizzare l’equazione di Poisson per il potenziale (scalare) gravitazionale a un potenziale
tensoriale gravitazionale con 10 elementi indipendenti individuati in funzione
delle sorgenti energetiche del campo (il tensore energia-impulso).
Nel frattempo anche David Hilbert presenta equazioni di
campo corrette derivandole da un principio variazionale.
Potrei continuare fornendo un esempio
di soluzione dell’equazione di Einstein, ma forse è più corretto rimandare alla
chiara esposizione di Wikipedia:
Dalla versione inglese di Wikipedia
dello stesso argomento:
“The Schwarzschild solution is named in honor of Karl Schwarzschild, who
found the exact solution in 1916, a little more than a month after the
publication of Einstein's theory of general relativity. It was the first exact
solution of the Einstein field equations other than the trivial flat space
solution. Schwarzschild died shortly after his paper was published, as a result
of a disease he contracted while serving in the German army during World War I.”
Aneddoto:
uno dei libri che ho sempre considerato fonte
inesauribile per quanto riguarda la Teoria dei Campi ed in particolare della
teoria della Relatività Generale e’:
L.
D. Landau – E. M. Lifsits, TEORIA DEI CAMPI (Nuova biblioteca
di cultura scientifica)
Al secondo anno di università’ incontrai in metropolitana
un ex compagno delle superiori, che, alla vista del libro sopra menzionato che
portavo spesso con me, fece l’affermazione:
“vedo che ti sei iscritto alla facoltà
di Agraria”
Albert Einstein, Il significato della relatività, Ed. Bollati
Boringhieri
Albert Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Ed. Bollati
Boringhieri
Max Jammer, Storia del concetto di spazio, Ed. Feltrinelli
Steven Weinberg,
Gravitation and Cosmology, Ed. J.Wiley
http://zibalsc.blogspot.it/2014/03/143-curvatura-e-gravitazione.html
http://zibalsc.blogspot.it/2013/06/123-paradosso-dei-gemelli-bis.html
