Nel post precedente si sono affrontati
diversi temi legati al concetto di simmetria e questi argomenti hanno portato a
porre domande di questo tipo:
- Quanti sanno che cosa è un gruppo?
O che significa l'affermazione:
"Le operazioni che lasciano invariata una figura soddisfano a condizioni
che permettono di definire un gruppo di trasformazioni."
- E' proprio vero che da uno
stato instabile un sistema degenera in uno stabile e non simmetrico? Anche
questa è un'affermazione che fa intuire che dietro la simmetria c'è qualcosa,
ma cosa?
- "Il termine “locale”
può far pensare a un dominio modesto, ma in realtà il requisito indica un
vincolo ben più rigoroso." perché?
- La lagrangiana appare come oggetto chiave. Si riesce
a darne una definizione intuitiva?
-
"Il motivo di questo è che per rendere invariante una teoria rispetto a
una trasformazione “locale”, si deve aggiungere un nuovo elemento: una
forza." Che significa?
-
La rottura spontanea della simmetria è una cosa che si verifica nello
sviluppo della teoria, o ad un certo punto dello spazio tempo, e cosa riguarda?
La simmetria di cosa? Dà un po' sui nervi sapere che sia coinvolta in tanti
sviluppi della fisica teorica.
- Non sapevo che la teoria del
ferromagnetismo fosse uno sviluppo degli ultimi 50 anni, oppure non so che cosa
è il ferromagnetismo.
-
Emmy Noether è una donna! Forse si dovrebbe dire "teorema della
Noether"?
Probabilmente non riuscirò a rispondere
a tutte queste domande, ma integrerò quanto detto nel precedente post con
alcuni paragrafi tratti da diverse fonti, e per cominciare (a chi volesse
approfondire) consiglio due libri:
1) Vincenzo Barone – L’ordine del mondo, Bollati Boringhieri, 2013
di cui si può trovare un estratto in
google books:
2) Sylvie.Braibant et al. - Particelle e interazioni fondamentali,
Springer, 2012
testo universitario aggiornato ed
esaustivo.
Altre informazioni sono state
estratte dai diversi siti riportati nel post.
---- ---- Dal
libro di Barone – Capitolo 1 ---- ----
Le simmetrie cui pensiamo
immediatamente sono la simmetria bilaterale (quella di una farfalla) o la
simmetria radiale (un fiore o una stella marina).
In fisica, le simmetrie sono qualcosa di più profondo: sono proprietà di invarianza delle leggi di natura. Quando
si parla di “simmetria”, si intende dire che le leggi fisiche che governano la
dinamica di un sistema rimangono immutate se si effettua una trasformazione di
quel sistema, o si cambia il punto di vista da cui lo si osserva.
Quando le velocità dei corpi e dei sistemi
di riferimento sono paragonabili alla velocità
della luce, le trasformazioni corrette – quelle più generali, di cui le trasformazioni di Galileo rappresentano
un’approssimazione alle basse velocità – sono le trasformazioni di Lorentz, che sono alla base della teoria della
relatività.
Le
trasformazioni di Lorentz cambiano
anche il tempo, che è quindi relativo al sistema di riferimento.
Tutte le leggi della fisica sono invarianti rispetto
all’insieme di trasformazioni costituito dalle traslazioni, dalle rotazioni e
dalle trasformazioni di Lorentz.
Quelle menzionate finora sono
trasformazioni continue che possono variare con gradualità e assumere qualunque
valore.
Simmetrie globali e simmetrie locali
Alcune trasformazioni di simmetria
non dipendono da dove o da quando, vengono effettuate, cioè sono uguali in
tutti i punti dello spazio-tempo. Si parla, in questo caso, di trasformazioni e di simmetrie globali.
E’ possibile immaginare anche delle simmetrie locali, rispetto a
trasformazioni che variano spazialmente e temporalmente. Una trasformazione di fase, per esempio, è locale se la
funzione d’onda viene ruotata di un angolo diverso a seconda della posizione
della particella e dell’istante in cui si esegue la rotazione.
Le simmetrie rispetto a trasformazioni
interne continue e locali sono chiamate simmetrie
di gauge.
Ciò che rende davvero potenti le
simmetrie è la teoria matematica che sta dietro di esse: la teoria dei gruppi. Fondata dal francese Evariste
Galois attorno al 1830, questa teoria permette di classificare tutte le
simmetrie e di studiarne in maniera sistematica le proprietà.
Un Gruppo G è un insieme di elementi (o
trasformazioni) g1, g2, g3 che deve
• essere dotato di una legge di
composizione, che indicheremo con m,
che ha le seguenti proprietà:
– Chiusura: se g1 ∈ G e g2 ∈ G, anche m(g1,
g2) ∈
G
– Associativa: m(g1,m(g2, g3)) = m(m(g1, g2), g3)
• contenere i seguenti elementi:
– L’identità e, tale che m(e, g) = m(g, e) = g, ∀g ∈ G
– L’inverso g−1,
tale che m(g−1, g) = m(g, g−1) = e, ∀g ∈ G
Un gruppo G è detto
commutativo o abeliano se ∀{g1, g2} ∈ G
si ha m(g1,
g2) = m(g2, g1).
Il gruppo delle
traslazioni o il gruppo delle rotazioni attorno ad un asse sono abeliani,
mentre il gruppo che contiene tutte le possibili rotazioni non è abeliano.
Simmetrie esatte e simmetrie rotte
L’importanza e il fascino delle
simmetrie non devono trarre in inganno:
un mondo perfettamente
simmetrico sarebbe privo di interesse e di fenomeni significativi.
La trama dell’universo è il
risultato tanto delle simmetrie, quanto della loro rottura.
Mentre tutte le simmetrie esatte
sono esatte allo stesso modo, ogni simmetria rotta è rotta a modo suo. Le
simmetrie esatte sono poche, le altre sono rotte, in vari modi e in misura
diversa.
Ma come si fa in concreto a
stabilire se una simmetria è esatta o è rotta?
Tutte le teorie fondamentali di cui
disponiamo hanno la stessa struttura generale, inventata nella seconda metà del
Settecento dal fisico matematico Joseph-Louis Lagrange.
Nella formulazione lagrangiana, la dinamica di un sistema fisico è descritta da
una quantità, l’azione, legata all’energia del sistema.
Le equazioni dinamiche si ottengono
imponendo che l’evoluzione temporale sia tale da rendere l’azione la più piccola
possibile (principio di minima azione).
Poiché le leggi fisiche di una
teoria derivano dall’azione, affinché esse posseggano una simmetria, cioè
conservino la stessa forma in seguito a certe trasformazioni, è sufficiente (e
necessario) che l’azione della teoria non cambi per effetto di quelle
trasformazioni. Verificare l’esistenza di una simmetria è quindi piuttosto
facile: basta controllare che l’azione sia invariante.
Classificazione
delle simmetrie
Le simmetrie
possono essere suddivise in due grandi gruppi:
1 - spaziotemporali,
a cui corrispondono proprietà d'invarianza dell'intero spaziotempo;
2 - interne,
a cui corrispondono proprietà locali (cioè proprie di un determinato sistema
fisico).
Le simmetrie spaziotemporali sono divise in:
1a - continue,
che prevedono l'invarianza per traslazioni nello spazio, nel tempo e rotazioni
attorno a un asse, a cui corrispondono (per il teorema di Noether) la
conservazione della quantità di moto, dell'energia e del momento angolare,
nonché le trasformazioni di Lorentz (quelle che agiscono nella relatività
ristretta provocando gli effetti di ''dilatazione dei tempi'' e ''contrazione
delle lunghezze'');
1b - discrete,
che prevedono la simmetria CPT di cui ci occuperemo a breve.
Le simmetrie interne si dividono in:
2a - globali,
che si hanno quando tutti i punti di un sistema (che può anche essere l'intero
spaziotempo) sono sottoposti alla stessa trasformazione che lascia, quindi,
invariate le proprietà globali del sistema, ad essa corrisponde la conservazione
del numero leptonico e barionico;
2b - locali
(di gauge), che si verifica quando un sistema è sottoposto a trasformazioni
diverse punto per punto, ad essa corrisponde la conservazione della carica di
gauge (carica elettrica, carica nucleare forte o di colore e carica nucleare
debole).
Il seguente paragrafo è tratto dal
sito:
invece di cercare di interpretare la
fenomenologia delle forze, si ipotizzò una nuova simmetria nella natura, della
cui rottura le forze
sono il necessario risultato. La nuova simmetria era l’invarianza locale di
gauge.
Per
analizzare una più semplice simmetria di gauge, quella globale dell’invarianza
rispetto alle traslazioni spaziotemporali, consideriamo un osservatore che si
muove di moto rettilineo uniforme e spostiamolo lateralmente: lo spostamento
non dovrà indurre cambiamenti nelle osservazioni fatte. Questa è la simmetria
di gauge globale dello spazio-tempo.
Consideriamo
ora una simmetria di gauge locale. In questo caso, la traiettoria che prima era rettilinea e
uniforme, ora non lo sarà più; l’osservatore si troverà sballottato, soggetto a
varie forze sconosciute.
Per
preservare la simmetria delle leggi della natura rispetto a questo tipo di
trasformazione sarà necessario che si attivi un campo (nello specifico, la
gravitazione) che punto per punto rimetta le cose a posto in modo che
l’osservatore continui a osservare le stesse cose. Un esempio semplice è la trasformazione
di gauge da moto rettilineo uniforme a moto circolare, che produce una forza centrifuga
per l’osservatore. Facciamo ora girare l’osservatore attorno a un pianeta: come
gli astronauti nelle capsule spaziali, si ritroverà nella condizione di essere
non soggetto a forze, proprio come lo era prima della trasformazione. In questo
caso la simmetria è preservata dal campo gravitazionale del pianeta.
Ecco, nella nuova fisica le forze
sono il modo con cui la natura garantisce che certe simmetrie vengano
rispettate.
Una completa rivoluzione copernicana!
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| asimmetrie.it - numero 11 - aprile 2011 |
Modello
standard
(Da Wikipedia, l'enciclopedia libera)
Alla base della
formulazione del Modello standard viene posto un principio di
simmetria fondato sulla teoria di Yang-Mills.
Questo consiste nell'invarianza della teoria sotto opportune trasformazioni,
dette
trasformazioni di gauge. L'invarianza di gauge
garantisce la coerenza matematica e la predittività della teoria, ossia quella
che tecnicamente viene definita
rinormalizzabilità.
Le interazioni
fondamentali vengono rappresentate nel
gruppo unitario
SU(2)×U(1)×SU(3), costituito dal prodotto di
SU(2)×
U(1)
che descrive le interazioni elettromagnetiche e deboli (unificate
nell'interazione elettrodebole), con
SU(3)
che descrive le interazioni forti. La descrizione delle interazioni
elettromagnetiche attraverso il
gruppo U(1)
prende il nome di
elettrodinamica quantistica, o QED,
mentre la descrizione delle interazioni forti attraverso il
gruppo
SU(3) prende il nome di
cromodinamica quantistica, o QCD.
Ad ogni gruppo
considerato corrispondono i
bosoni
vettori, che, come già detto, sono i mediatori delle forze osservate in
natura e il cui numero dipende da quello dei
generatori, che è una proprietà matematica
del gruppo stesso. Al sottogruppo SU(2)×U(1) corrispondono il
fotone, mediatore
dell'interazione elettromagnetica, ed i
bosoni W
(carichi) e Z (neutro), mediatori dell'interazione debole, mentre al
sottogruppo SU(3) corrispondono otto gluoni, dotati di
carica
di colore.
E la Lagrangiana?
Come recita il sottotitolo del libro
di Leonard Susskind, Il minimo teorico,
Codice edizioni, 2014, qui potete trovare “Tutto quello che dovete sapere per
fare della (buona) fisica”.
Cominciamo con un’osservazione
generale sul problema principale della meccanica
classica: determinare le traiettorie (o orbite) dei sistemi a partire dalle
equazioni del moto. Di solito sono note 3 cose: le masse delle particelle, un insieme di forze (o una formula per l’energia potenziale) e le condizioni iniziali (coordinate e velocità).
Il moto viene poi determinato in accordo con la seconda legge di Newton (F=ma).
Il formalismo lagrangiano e il
principio di minima azione sono anche strettamente legati al teorema di Noether, che collega quantità
conservate del moto con le simmetrie continue di un sistema
fisico. Questo ambiente fornisce un formalismo naturale per la "prima
quantizzazione", includendo commutatori
tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un
sistema fisico.
Il principio di minima
azione è l’espressione più compatta delle leggi della fisica:
δA
= 0
L’azione A
è definita come integrale della
lagrangiana: L = T - V
dove T e V sono rispettivamente
Energia Cinetica e Potenziale.
Ciò che bisogna conoscere per
specificare L sono le masse delle particelle (per l’Energia Cinetica) e il
Potenziale. Non è un caso, ovviamente, che queste siano le stesse quantità
necessarie per scrivere le equazioni del moto di Newton.
Concludo con alcune considerazioni
di Richard Feynman - The Feynman Lectures on Physics:
52–3 Symmetry and conservation laws
The symmetries of the physical laws are very
interesting at this level, but they turn out, in the end, to be even more
interesting and exciting when we come to quantum mechanics. For a reason which
we cannot make clear at the level of the present discussion — a fact that most
physicists still find somewhat staggering, a most profound and beautiful thing,
is that, in quantum mechanics, for each of the rules of symmetry there is a
corresponding conservation law; there is a definite connection between the laws
of conservation and the symmetries of physical laws. We can only state this at
present, without any attempt at explanation.
The fact, for example, that the laws are symmetrical
for translation in space when we add the principles of quantum mechanics, turns
out to mean that momentum is conserved.
That the laws are symmetrical under translation in
time means, in quantum mechanics, that energy is conserved.
Invariance under rotation through a fixed angle in
space corresponds to the conservation of angular momentum. These connections
are very interesting and beautiful things, among the most beautiful and
profound things in physics.
Incidentally, there are a number of symmetries which
appear in quantum mechanics which have no classical analog, which have no
method of description in classical physics. One of these is as follows: If ψ is the amplitude for some
process or other, we know that the absolute square of ψ is the probability that the
process will occur. Now if someone else were to make his calculations, not with
this ψ , but with a ψ′ which differs merely by a
change in phase (let Δ
be some constant, and multiply e iΔ
times the old ψ), the absolute square of ψ′, which is the probability of
the event, is then equal to the absolute square of ψ:
ψ′ = ψ e iΔ ; ∣ψ′∣ 2 =∣ψ∣ 2 (52.1)
Therefore the physical laws are unchanged if the phase
of the wave function is shifted by an arbitrary constant. That is another
symmetry. Physical laws must be of such a nature that a shift in the
quantum-mechanical phase makes no difference. As we have just mentioned, in
quantum mechanics there is a conservation law for every symmetry. The
conservation law which is connected with the quantum-mechanical phase seems to
be the conservation of electrical charge. This
is altogether a very interesting business!
E infine una breve nota sul ferromagnetismo.
Nel caso del ferromagnetismo il fenomeno è più complesso e non
esiste una spiegazione classica. Sono ancora presenti dei momenti magnetici
intrinseci che vengono orientati concordemente al campo esterno, solo che in
questo caso basta un campo anche debole per produrre un orientamento molto
forte. In particolare si immagina che al suo interno il materiale
ferromagnetico sia organizzato in domini ferromagnetici. Tali domini presentano
un momento magnetico definito, ma in condizioni normali l’orientazione
reciproca dei vari domini è casuale e l’effetto globale piccolo o del tutto
nullo. In presenza di un campo magnetico esterno, i domini si orientano
progressivamente producendo un forte incremento del campo magnetico nella
materia, fino a completa orientazione di tutti i domini.
Il ferromagnetismo è la proprietà di alcuni materiali,
detti ferromagnetici, di magnetizzarsi molto intensamente sotto
l'azione di un campo magnetico esterno e di restare a lungo
magnetizzati quando il campo si annulla, diventando così magneti. Questa
proprietà si mantiene solo al di sotto di una certa temperatura,
detta temperatura di Curie, al di sopra della quale
il materiale si comporta come un materiale paramagnetico.
Per il ferro, ad
esempio, questa temperatura è di circa 770 °C.
Il ferromagnetismo rappresenta uno dei principali problemi aperti
della fisica dello stato solido, anche se esistono essenzialmente due modelli
teorici che riescono a descriverlo: il modello di Ising e il modello di Weiss,
basati entrambi sull'hamiltoniana di Heisenberg, che tuttavia utilizzano grosse
approssimazioni.
Dell’importante matematica Emmy Noether ho già
parlato molte volte in questo blog ad esempio qui.
