143. Curvatura e Gravitazione

Questo post cercherà di chiarire la relazione tra gravitazione e curvatura nell’ambito della Relatività Generale, senza fare riferimento esplicito alle formule di questa teoria, ma considerando solo le traiettorie dei vari oggetti e alcune semplici calcoli geometrici.

Niente sembra più affascinante di una tale relazione e anche Riemann, che il 10 giugno 1854 (all’età di 28 anni), riuscì a fornire l’apparato matematico necessario,  malgrado gli sforzi, non trovò una soluzione a quanto cercava, e la ragione principale è che Riemann cercava una relazione con la curvatura dello spazio e non dello spazio-tempo.

Per questo passaggio si dovette aspettare mezzo secolo.

D’altro canto se si confrontano le traiettorie di diversi oggetti (come fatto da Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler nel Gravitation) si fa fatica a trovare una semplice legge fisica basata sulla curvatura.
 

Nell’esempio si mettono a confronto le traiettorie di una palla che raggiunge l’altezza di 5 metri e ritorna a terra dopo 10 metri, con quella di una pallottola che si alza per solo mezzo millimetro (5 x 10^-4 metri) e ha la stessa gittata di 10 metri.

 

Ovviamente nell’ordinario spazio tridimensionale, le curvature delle traiettorie sono molto differenti.

Per eseguire il calcolo nello spazio-tempo si deve prima di tutto considerare che lo spazio percorso è proporzionale alla velocità, mentre la proiezione della “distanza percorsa” dall’oggetto sull’asse temporale è pari a ct, cioè 300.000 km per ogni secondo trascorso. In pratica si puo generalizzare dicendo che:

lo spazio percorso è proporzionale alla quadri-velocità [ v_x, v_y, v_z, c ]

Nel nostro caso la palla per arrivare al punto finale impiega 2 secondi, mentre la pallottola 1/50 di secondo.

Quindi la “distanza” percorsa nello spazio-tempo, che chiameremo gittata, è rispettivamente 600.000km e 6.000km (si possono trascurare i 10 metri della componente spaziale).
 

 

Il tutto è semplificato dal fatto che la componente temporale è enormemente dilatata rispetto alle 3 dello spazio ordinario.

Approssimando le traiettorie con archi di circonferenza e utilizzando il teorema di Pitagora si ha:

(raggio di curvatura)² =  [(raggio di curvatura) – (altezza)]² + (gittata/2)²

sostituendo il raggio di curvatura con R e l’altezza con h:

R² =  ( R  –  h )² + (gittata/2)²

e trascurando h²:

R  =  (gittata)² / 8h

infine sostituendo i valori nei 2 casi:

R  =  ( c x 2 )² / ( 8 x 5 )  =  c²  x  0,1 = 9 x 10¹⁵ metri                   (palla)

R  =  ( c x 0,02 )² / ( 8 x 0,0005 ) =  c²  x  0,1 = 9 x 10¹⁵ metri   (pallottola)
 

Questa distanza è poco meno di quella percorsa dalla luce in un anno (a.l.):

299.792.458 m/s  x  365,25 g  x  86.400 s/g  ≈  9,461 x 10¹⁵ metri

Se si paragona il valore del raggio di curvatura ottenuto con il raggio della Terra all’equatore 6.378.388 metri, si capisce come sia realmente piccolo il valore della curvatura e questo potrebbe anche essere direttamente calcolato mediante la soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto.

La circonferenza offre il modello più semplice di misura della curvatura: circonferenze con raggio maggiore hanno una curvatura minore e viceversa.

La curvatura della circonferenza è definita come il reciproco del suo raggio R:

k = 1/R

La retta, che si può identificare con la circonferenza di raggio infinito, ha curvatura nulla.

Per la superficie terrestre si ha:                k = 1,57 x 10^-7  m^-1 

mentre per palla e pallottola:                    k = 1,11 x 10^-16  m^-1

E’ comunque importante sottolineare come la curvatura delle traiettorie (geodetiche) dei vari corpi si discosti di una quantità infinitesima dalla linea retta.

 

Abstract - Curvature and Gravitation


http://digilander.libero.it/roberto20129/matematica/riemann.html
http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2008/09/17/17-settembre-1826-buon-compleanno-bernhard/
http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/07/71-superfici-rigate.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/09/80-relazione-massa-energia_27.html

142. La capovolta ambiguità d'Orione

L'Argentina, l'Argentina, che tensione! Quella Croce del Sud nel cielo terso,
la capovolta ambiguità d'Orione e l'orizzonte sembra perverso.
Ma quando ti entra quella nostalgia che prende a volte per il non provato
c'è la notte, ah, la notte, e tutto è via, allontanato.
E quella che ti aspetta è un'alba uguale che ti si offre come una visione,
la stessa del tuo cielo boreale, l'alba dolce che dà consolazione…

                                                                        Argentina, Francesco Guccini (1983)

 

 

Se in una notte come questa, con una temperatura di 19ºC, a Buenos Aires, guardando verso l’equatore, cercassimo la costellazione di Orione, potremmo vedere nei suoi dintorni le costellazioni del Toro, del Cancro, dei Gemelli e del Leone. E Giove, con i suoi satelliti, posizionato nel bel mezzo dei Gemelli.

 

E fin qui niente che non si possa osservare anche dall’emisfero Boreale, ma la differenza sta nel fatto che il tutto apparirebbe capovolto e non si riuscirebbe a vedere la Stella Polare, ma bensì la Croce del Sud.

141. Regola del 72

Mille euro con un rendimento semplice del 10% per cinque anni incrementano il valore iniziale di cinque volte il 10%, ossia del 50% (1.500 euro); se invece il rendimento del 10% annuo fosse composto, invece che semplice, quel 10% si applicherebbe anno dopo anno anche agli interessi accumulati fino ad allora. Questo consentirebbe di ottenere un rendimento finale del 61,05% (1.610 euro).

La formula dell’interesse composto a capitalizzazione annuale è la seguente:

C_f  =  C_i  (1 + r)ⁿ

dove “C” rappresenta i capitali finale ed iniziale, “r” è il tasso di interesse in percentuale (es. 5%) e “n” è il tempo cercato in anni.

Questa formula fu ricavata nel 1494 dal matematico Luca Pacioli, inventore del metodo di contabilità che ancora oggi si utilizza. In uno dei capitoli della Summa,  intitolato Tractatus de computis et scripturis, viene presentato in modo più strutturato il concetto di partita doppia, già noto e divulgato nell'ambiente mercantile,  ("Dare" e "Avere", bilancio, inventario).

 

Ritratto di Luca Pacioli, 1495, attribuito al pittore rinascimentale Jacopo de' Barbari.

 

Come esempio, per calcolare il numero di anni necessari al raddoppio di un capitale, il problema, che ovviamente vale anche per calcoli di crescita non finanziari, si riduce a trovare la “n” che risolve l’equazione:

2  = (1 + r)ⁿ      ovvero       n  =  ln(2) / ln(1 + r)

Per valori molto piccoli di r si ha:     n  ≈  69,31 / r

Dove 69,31 è 100 volte il logaritmo naturale di 2.

Pacioli scrisse che, in modo approssimato, un capitale qualsiasi si raddoppia in un numero di anni pari a 72 diviso il tasso di interesse.

Per esempio un capitale di 1.000 euro investito al tasso dell’8%  annuo diventa di 2.000 euro in 9 anni (72/8 = 9).

Tuttavia l’equazione di Pacioli non è completamente esatta, ma fornisce una buona approssimazione quando i tassi considerati sono intorno all’8%, mentre dà un risultato un po’ approssimato quando gli stessi se ne discostano.

Una formula semplice che esprime il tempo di raddoppio del capitale con una stima migliore è la seguente:

Tempo di raddoppio:   (ln(2) / r) + 0,35  =  (69,31 / r) + 0,35

 

 
 

http://it.wikipedia.org/wiki/Crescita_esponenziale

http://it.wikihow.com/Usare-la-Regola-del-72

 

140. The Koreas at Night

Orbitando sopra l’Asia orientale, gli astronauti a bordo dell’International Space Station (ISS), hanno ripreso questa immagine notturna della penisola coreana.
 

Di seguito si può leggere il testo originale riportato nel sito della NASA:

http://earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=83182

Nella Corea del Sud, l’area di Seoul (con 25,6 milioni di abitanti) appare molto luminosa.

La Corea del Nord è invece quasi completamente al buio. Di solito nelle foto notturne le coste sono ben illuminate e sono facile da individuare, mentre in questo caso sono praticamente indistinguibili e la mancanza di luci in Corea del Nord fa sembrare che tra Cina e Corea del Sud ci sia solo il mare.

Questa differenza è resa evidente anche dal confronto del consumo elettrico annuo pro capite dei due paesi:

        Corea del Sud         10.162 chilowattora

        Corea del Nord            739 chilowattora

In Italia il consumo è:        5.393 chilowattora.

http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.ELEC.KH.PC

Tenendo conto che in anno ci sono circa 8.766 ore, ogni sudcoreano consuma mediamente più di 1 chilowattora per ogni ora dell’anno.

Flying over East Asia, astronauts on the International Space Station (ISS) took this night image of the Korean Peninsula. Unlike daylight images, city lights at night illustrate dramatically the relative economic importance of cities, as gauged by relative size. In this north-looking view, it is immediately obvious that greater Seoul is a major city and that the port of Gunsan is minor by comparison. There are 25.6 million people in the Seoul metropolitan area—more than half of South Korea’s citizens—while Gunsan’s population is 280,000.

North Korea is almost completely dark compared to neighboring South Korea and China. The darkened land appears as if it were a patch of water joining the Yellow Sea to the Sea of Japan. Its capital city, Pyongyang, appears like a small island, despite a population of 3.26 million (as of 2008). The light emission from Pyongyang is equivalent to the smaller towns in South Korea.

Coastlines are often very apparent in night imagery, as shown by South Korea’s eastern shoreline. But the coast of North Korea is difficult to detect. These differences are illustrated in per capita power consumption in the two countries, with South Korea at 10,162 kilowatt hours and North Korea at 739 kilowatt hours.