115. Somma di ipersfere

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica #59 ospitato questo mese dal blog Dropsea  e l’argomento essendo nel mese del Pi Day e’ naturalmente Pi.

Il tema del mese precedente era  “Matematica, che palle!” ed è interessante che i 2  argomenti siano così strettamente correlati; dal primo si arriva in modo spontaneo al secondo appena si cerca di misurare l’estensione di questi oggetti in spazi con diverse dimensioni.

Cominciamo con 2 dimensioni.

Il cerchio è l'insieme degli infiniti punti che distano da un punto dato (detto centro) non più di una distanza fissata (detta raggio R).

Una delle prime nozioni scolastiche di Geometria è la formula del calcolo dell’area del cerchio:   Area = p R²

Come esempio si può pensare ad una capra libera di pascolare in un prato che abbia come vincolo una corda legata a un palo, dopo qualche giorno di erba all’interno di una circonferenza con raggio pari alla lunghezza della corda ne rimarrà ben poca.

Lo stesso concetto di luogo di punti che distano non più di una certa distanza, si può estendere in modo analogo a spazi con un altro numero di dimensioni.

 

Nel caso monodimensionale si ha un segmento di lunghezza 2R.

In 3 dimensioni si ottiene la sfera di volume:   Volume  =  4/3 p R³

In generale per le prime 10 dimensioni si ha:

V₁  =    2 R

V₂  =    p R²
V₃  =  4/3  p R³
V₄  =   1/2  p² R⁴
V₅  = 8/15  p² R⁵
V₆  =   1/6  p³ R⁶
V₇  = 16/105  p³ R⁷
V₈  =   1/24  p⁴ R⁸
V₉  =  32/945 p⁴ R⁹
V₁₀ = 1/120  p⁵ R¹⁰

La formula generatrice di tutti i casi è relativamente semplice:

 

 

 

Γ è la funzione gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero, una funzione continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale.

                         Γ(n+1) = n! 

dove  n!  è il fattoriale, il prodotto dei numeri interi da 1 a n:   n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.

 
Se nella formula (1) si prendono solo i casi con n pari, si ottiene:

 

V₂ =    p R²
V₄ =    1/2   p² R⁴
V₆ =    1/6   p³ R⁶

V₈  =  1/24  p⁴ R⁸
V₁₀ = 1/120  p⁵ R¹⁰

Con integrazioni successive si possono ricavare un paio di regole che mostrano come ad ogni incremento nel numero di dimensioni l’esponente di R si incrementa di 1 (e questo è banale), mentre l’esponente di pi si incrementa di 1 solo nel passaggio da un numero dispari ad un numero pari di dimensioni, ad esempio da 3 a 4 (meno banale, ma non difficile da dimostrare).

In particolare nel caso di R = 1 le precedenti formule si riducono a:
 

 
 

Semplici no?
 

Ora se sommiamo la serie di valori  V₀ , V₂ , V₄ , V₆ , …
 

Sommatoria V  =  1 + 3,14 + …  = 23,14069..
 

Questo numero non è un numero qualunque!   E lo vedremo subito.
 

Non è difficile verificare che il noto sviluppo in serie:

 

 

coincide con la sommatoria precedente ponendo   x = π

Quindi che lo strano numero 23,14069 si ottiene elevando il numero di Eulero e  (2,7182…) a  pi  (3,1415…)

 ma non è finita qui…

 Come mostrato da Roger Penrose nel capitolo 5 del libro, La strada che porta alla realtà, Rizzoli, 2005:

 Abbiamo infine ottenuto che la sommatoria precedente di volumi di ipersfere di raggio 1 in spazi di dimensione pari converge al valore di  ( 1 / i ⁱ )² 

Questo numero ha anche un nome:  Costante di Gelfond

 

Le considerazioni precedenti si possono trovare anche in Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Gelfond

 

Come appendice ricordo che un caso piu’ generale considerando anche gli spazi con dimensione dispari, lo potete trovare in un precedente post:

http://zibalsc.blogspot.it/2011/08/73-somma-di-ipersfere.html

Nel caso di R = 1 , tale sommatoria vale  44,99931...

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere 

http://zibalsc.blogspot.it/search/label/pi
http://zibalsc.blogspot.it/2010/12/9-ipersfere.html

 

114. Cristoforo Colombo e l’eclissi di Luna

Nel gravitare intorno alla Terra, nelle notti di plenilunio, la Luna può entrare nel cono d’ombra terrestre. In questo caso si ha un’eclisse lunare, che risulta visibile da tutto l’emisfero notturno della Terra.

Il numero massimo di eclissi in un anno è sette, in ragione di 2 eclissi lunari e 5 solari oppure 3 lunari e 4 solari.  Comunque questi casi sono abbastanza rari; di norma ci sono 2 eclissi solari e 2 lunari per anno.  Il numero minimo è 2 per anno (entrambi solari).

 

Eclisse di Luna

 

La periodicità e la ricorrenza delle eclissi è governato dal ciclo di Saros, che ha un periodo di circa 6.585,3 giorni (18 anni, 11 giorni e 8 ore).

Si può rimandare la scoperta del ciclo dei Saros ai Caldei circa 2.500 anni fa, i quali si accorsero che la Luna, il Sole e la Terra si ritrovano nella medesima condizione ciclicamente.

Oggi sappiamo che per ripetersi quasi esattamente nei medesimi luoghi, fra ogni eclisse devono passare 3 Saros pari a 54 anni. Dalla lettura di quegli stessi ritrovamenti si poté inoltre stabilire che il Saros non si protrae illimitatamente ma si conclude dopo un certo periodo di anni. A questi cicli periodici i sacerdoti diedero il nome di Saros cioè "ripetizione" e il numero di anni che intercorreva tra il loro ripetersi venne usato per prevedere la data delle eclissi e ciò conferì loro prestigio e timore reverenziale.

I quattro viaggi di Cristoforo Colombo

Durante il suo quarto viaggio alla volta dell'America, nel 1503 Cristoforo Colombo si arenò sulle coste della Giamaica e fu accolto assieme al suo equipaggio dagli indigeni dell’isola. Dopo alcuni mesi, però, questi cessarono di rifornirli di cibo: gli uomini di Colombo, infatti, rubavano nei villaggi e truffavano gli isolani. Anche le sue provviste erano ormai molto esigue, ma le popolazioni locali si rifiutarono di fornirgli del cibo, in cambio di gioielli.

Allora Colombo escogitò un piano per ingannarli. Aveva a bordo una copia di uno dei libri di Regiomontano, pseudonimo di JohannesMüller da Königsberg  (1436 – 1476), che conteneva le predizioni di eclissi lunari, una delle quali prevista per il 29 febbraio 1504.

La sera in cui si sarebbe verificata l'eclisse organizzò un incontro con i capi delle popolazioni indigene e disse loro che Dio era molto offeso e che avrebbe fatto sparire la Luna. Quando, in perfetto accordo con la previsione di Colombo, la Luna si colorò di rosso a causa dell’ingresso nel cono d’ombra terrestre, gli indigeni furono profondamente intimoriti e supplicarono di servire nuovamente Colombo, purché questi intercedesse col suo Dio e facesse tornare la Luna al suo normale colore. Colombo accettò e, come ovvio che fosse, dopo una quarantina di minuti l’eclisse terminò.

 

Nel sito della NASA si può trovare la spiegazione al ciclo di Saros e si può anche verificare l’eclisse di Luna che avvenne la notte tra il 29 febbraio e il primo marzo 1504 alle 00:44:47

 

http://torredelsole.wordpress.com/2011/06/15/leclissi-di-luna-a-che-serve/

http://eclipse.gsfc.nasa.gov/LEcat5/LE1501-1600.html
http://www.astrosurf.com/cosmoweb/documenti/eclissi.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Viaggi_di_Cristoforo_Colombo
http://it.wikipedia.org/wiki/Regiomontano
http://www.skylive.it/default.aspx?aspxerrorpath=/AstronomiaVisuale/Astronomia_Visuale_Sfera_Celeste_Eclissi.aspx


Abstract - Lunar ecplipse

 

113. Let Me Through

Quando negli anni novanta mi fu regalato “Let Me Through” pensai che fosse un gioco in qualche modo senza soluzione. E invece, grazie a internet, l’anno scorso ho trovato come risolverlo…

 

Questo puzzle è una variante del “CenturyPuzzle” inventato da John Horton Conway (lo stesso autore del Doomsday) nel 1975 mentre era all’Università di Cambridge.
Chiamò questo gioco “The Century Puzzle” perché’ può essere risolto in 100 mosse.

Per spiegare in cosa consiste, sul retro della confezione è riportato:

Lasciatemi passare

La signora in verde (pezzo 2x2 quadratini) vuole arrivare alla porta che si trova dall’altra parte dell’autobus. Trovate come ognuno deve muoversi per lasciarla passare.  Buon divertimento!

 

 

Ognuno dei 10 pezzi è composto di 1, 2 o 4 quadratini.

Le mosse principali per risolvere il puzzle sono indicate nei seguenti passaggi:

 

In particolare l’ultimo consente di spostare il bassotto e far passare la signora, che sembra essere una mossa impossibile.

Nel dettaglio le singole mosse sono:

 

Il bel sito dove ho trovato delucidazioni in merito è:

http://www.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/ZPAGES/zzzTrafficJam.html

 

Esistono altre varianti come il “Quzzle” o il “Dad’s Puzzle”. Quest’ultimo risale ai primi decenni del secolo scorso.

http://www.puzzleworld.org/slidingblockpuzzles/classic.htm
http://www.stavanger-guide.com/klotski.htm
http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/puzzles/slideblk/century.htm
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Conway.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Dad%27s_Puzzle

112. Upside down world map (Mappe sottosopra)

Nella maggior parte delle carte attuali il Nord è in alto, il Sud in basso, l'Est a destra e l'Ovest a sinistra di chi guarda la carta, anche se storicamente abbiamo avuto carte orientate a EST (tutte quelle che privilegiavano il sorgere del Sole), oppure verso Sud (specialmente arabe e cinesi), raramente orientate a Ovest (molte carte nautiche, specie portoghesi). Non mancano, soprattutto tra XV e XVI secolo, atlanti dove ogni singola pagina è orientata verso un punto cardinale diverso. La convenzione di standardizzare l’orientamento della cartografia occidentale verso Nord si consolida lentamente tra il Seicento ed il Settecento e viene consacrato nell’Ottocento.

"Carta geografica" Wikipedia, L'enciclopedia libera. 1 gen 2013

 

La convenzione deriva anche dal fatto che i navigatori europei utilizzavano la bussola e la Stella Polare come riferimento, che come noto è una stella visibile ad occhio nudo e si trova approssimativamente allineata con l'asse di rotazione di un pianeta, indicandone uno dei poli celesti.

Nella navigazione astronomica, la sua posizione è un'indicatrice infallibile della direzione del polo nord geografico e la sua altezza angolare permette di determinare la latitudine. Per via del suo allineamento con l'asse di rotazione, la Stella Polare è percepita come immobile da un osservatore situato sul pianeta, mentre le altre stelle visibili sembrano descrivere un moto circolare attorno al polo nel corso della notte.

Questa convenzione è così radicata che risulta molto difficile adottarne una diversa e, per quanto ci si sforzi, sembra che l’unica ragionevole sia quella comunemente utilizzata.

Mafalda, del disegnatore argentino Quino, in una famosa striscia arriva alla conclusione che l’emisfero meridionale è così sottosviluppato perché a quelle latitudini le idee cadono verso il basso…

 

 

Se poi si osservano i singoli stati appare ancora più irragionevole l’utilizzo di queste mappe.


Questo è comunque un buon esempio di come sia difficile cambiare sistema di riferimento.

http://www.flourish.org/upsidedownmap/

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