In matematica una congettura
è un'affermazione fondata su dati conosciuti, ritenuta plausibilmente
vera, ma non dimostrata (né confutata).
Wikipedia
riporta un elenco esaustivo di congetture matematiche all'indirizzo
In particolare ai numeri
primi (divisibili solo per 1 e per se stessi), sono legate molte ipotesi di
questo tipo ritenute verosimili e verificate per numeri molto grandi al limite
delle potenzialità di calcolo dei più potenti computer.
I numeri primi sono
infiniti, come mostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX,
proposizione 20), ma esistono molte altre dimostrazioni che usano una gran
varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero
lo ricavò dalla divergenza della
serie armonica:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+…
Si può anche dimostrare la divergenza della somma dei reciproci dei numeri
primi: 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…,
che può essere ricavata dalla serie armonica eliminando una gran quantità di
termini o come si usa dire in questi casi utilizzando
il cosiddetto metodo del crivello.
Si definiscono numeri primi gemelli
le coppie di numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la
coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi.
Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.
La congettura dei numeri primi gemelli
è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri. Essa fu proposta per la
prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma che:
Esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 sia un numero primo.
Due numeri
primi cugini sono una coppia di numeri primi che
differiscono di quattro (3, 7), (7, 11), (13, 17),…; mentre i numeri primi sexy sono così chiamati dal fatto che "sex"
in Latino significa "sei". Le
prime coppie sexy sono (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23,
29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), ...
Nel 1849 de Polignac enunciò una congettura
più generale la quale ipotizza che, per ogni numero naturale k, esistano infinite coppie di
numeri primi che differiscono di un termine pari a 2k. Il caso k = 1 è equivalente alla congettura dei primi
gemelli.
Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la
somma dei reciproci dei primi gemelli converge ad una costante matematica ora
chiamata costante di Brun (B2), la cui miglior stima ha un valore
pari a 1,902160583104.
B2 =
(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+...
Questa convergenza è in forte contrasto con il fatto che la somma dei
reciproci di tutti i numeri primi sia divergente. Se questa serie fosse divergente, ciò implicherebbe una dimostrazione
della congettura dei numeri primi gemelli. Poiché invece converge, resta ancora da dimostrare se il numero di primi
gemelli sia finito o infinito.
Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:
Ogni intero maggiore di 5 può essere
scritto come somma di tre numeri primi.
Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando
il problema nella seguente versione equivalente:
Ogni numero pari maggiore di 2 può
essere scritto come somma di due numeri primi.
La versione di Eulero è la forma nella quale la
congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche congettura forte di Goldbach
per distinguerla dalla formulazione originale di Goldbach, nota oggi come congettura debole di
Goldbach.
Se si
costruisce una tabella dove la prima riga elenca i numeri primi nj,
nj+1, nj+2, la seconda riga le differenze tra due primi
consecutivi dj = nj+1 – nj, dj+1 =
nj+2 – nj+1, e nelle righe successive le differenze tra i
termini della riga precedente, si mette in evidenza la
congettura
di Gilbreath, la quale afferma che il primo valore di
queste sequenze sarà sempre uguale a 1, eccetto per la sequenza originale
dei numeri primi. La congettura è stata verificata per i numeri primi fino al
valore di 1013.
2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 4, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2,
...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 2,
...
La congettura di Andrica riguarda
gli intervalli tra due successivi numeri primi, ed è
stata formulata dal matematico romeno Dorin Andrica
nel 1986.
Questa
congettura afferma che, per ogni coppia di numeri primi consecutivi pn
e pn+1, si ha:
Esempio: A4 = √ 11 - √ 7 ≈ 0,670873
In
altri termini, la differenza tra due numeri primi consecutivi
è sempre inferiore alla somma delle loro radici.
http://www.uni-service.it/il-fantastico-mondo-dei-numeri-primi.html
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_008.htm
http://ilportaledigiammond.wordpress.com/matematica/curiosita-sui-numeri-primi/
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_02/Cap7.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/02/34-formula-prodotto-di-eulero.html
Abstract - Andrica, Gilbreath, Goldbach and de Polignac's
Conjectures
